On 09/12/2019 08:15 PM, Furio Petrossi wrote:
> Non ho capito del tutto; immagino che tu intenda eventi "vicini"
> temporalmente o spazialmente ad un evento dato; è insolito in un
> contesto in cui l'invariante è l'intervallo spaziotemporale.
>
> Tuttavia le trasformazioni sono semplici affinità, per cui ad un intorno
> "circolare" corrisponderà una qualche ellisse (ellissoide) con in cui
> eventi passati o futuri restano nel passato e nel futuro.
La faccenda è piuttosto complicata, e vedo molta confusione in giro
(giustificata dalla situazione "anomala" dello spazio di Minkowsky).
Vediamo che mettere un po' d'ordine.
Intanto insisto che possiamo solo occuparci del modello matematico che la RR usa per lo spazio-tempo fisico.
Solo su questo modello (spazio di Minkowski, M) si possono dire cose
precise, e bisogna parlare la "lingua matematica" (Galileo).
Per cominciare, M è uno *spazio topologico*. Questo vuol dire che è
dotato di una *topologia*, ossia di un un insieme di sottoinsiemi che
chiamiamo "aperti", le cui proprietà - che non sto a descrivere - si
assumono come requisiti perché possano essere accettati come aperti.
Su questo torno fra poco.
Secondo: M è una "varietà 4D". Ciò significa che su M è possibile
definire sistemi di *coordinate*, più esattamente quaterne di reali, in
modo da far corrispondere uno a uno i punti di M a quelli di R^4.
Per una generica varietà questa corrispondenza potrebbe essere
complicata dal fatto che potrebbero non esistere sistemi di coordinate
validi per tutto lo spazio. Si dovrebbe allora ricorrere a un "atlante",
ossia a un insieme di "carte": sistemi di coordinate validi su parti
dello spazio, con le parti che si sovrapongono in modo che la loro
unione ricopra l'intero spazio.
Questo succede già nel caso semplicissimo di una sfera 2D, che richiede
almeno 2 carte. Ma non succede per M, dove è possibile scegliere singole
carte valide per tutto lo spazio (la scelta non è unica).
Il fatto che M sia una varietà 4D con una sola carta permette di definire la topologia appoggiandosi su quella di R^4: aperto di M è
l'immagine di un aperto di R^4 e viceversa.
Gli aperti di R^4 sono definiti in modo canonico basandosi sulla
*distanza euclidea*: se P, Q sono due punti di R^4 si ha
d(P,Q) sqrt[(tP - tQ)^2 + ((xP - xQ)^2 + (yP - yQ)^2 + (zP - zQ)^2]. (1)
La stessa distanza e la conseguente definizione di aperto (che salto) verrà assunta in M.
Attenzione: è ovvio che questa definizione di distanza non ha niente a
che vedere con la metrica di Minkowsky. Ma ai fini della topologia, che
formalizza il concetto intuitivo di "vicinanza" tra punti, ciò è
necessario. Vedremo fra poco il perché.
Le proprietà di M non sono però finite.
M non è solo una varietà: è una varietà "pseudo-euclidea".
Detto in modo semplificato, questo significa che tra due punti di M è
definita una *metrica* (da non confondere con la distanza di cui sopra,
ed è questa confusione che ha viziato molti post):
s(P,Q) = (tP - tQ)^2 - (xP - xQ)^2 - (yP - yQ)^2 - (zP - zQ)^2 (2).
Notate le differenze tra (1) e (2):
- in (2) non c'è la radice quadrata
- ci sono invece dei segni meno.
La presenza dei segni meno spiega perché "pseudo": s(P,Q) *non è
definita positiva*, anzi può assumere entrambi i segni a seconda dei
punti, e per di più può annullarsi anche se P e Q sono punti distinti.
Notate che anche se volessimo trascurare la questione dei segni, per es.
occupandoci solo di punti P, Q per i quali s(p,Q)>0 (separazione di tipo
tempo) non potremmo mai usare s(P,Q) per definire una distanza nel senso
in cui la si usa in uno spazio metrico, prendendone la radice quadrata:
d'(P,Q) = sqrt[s(P,Q)] (def. provvisoria)
Infatti non vale la disuguaglianza triangolare, anzi: se P,Q,R sono tre
punti distinti con separazioni di tipo tempo, ordinati in modo che sia
tP < tQ < tR, vale sempre la disuguaglianza
d'(P,R) >= d'(P,Q) + d'(Q,R)
che contraddice la disug. triangolare.
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Però per la fisica è importante la metrica, che come sappiamo è
invariante per cambiamenti di rif. (inersiale).
Vediamo bene che cosa questo significa.
Avevo scritto sopra che i sistemi di coordinate per M non sono unici.
Infatti già a ogni rif. inerziale si associa un sistema di coordinate,
per cui dato un punto P esso avrà coordinate (t,x,y,z) in un rif. K e
coord. (t',x',y',z') in un rif. K'.
E' ben noto che se calcoliamo le due metriche
s(t,x,y,z) e s(t',x',y',z') otteniamo *lo stesso risultato*.
Questa è l'invarianza che dicevo.
Notate bene che ho tenuto fisso il punto P dello spazio-tempo, e l'ho
riferito a due diversi sistemi di coordinate, quello di K e quello di K'.
E' il punto di vista noto come "passivo".
(Attivo sarebbe non cambiare rif. ma trasformare il punto applicando
alle sue coord. una trasf. di Lorentz.)
C'è un problema: la metrica è invariante per cambiamento di rif., e sta
bene. Ma la distanza euclidea d, che abbiamo usato per definire la
topologia, non lo è.
Se per es. definiamo "palla" di centro P e raggio r relativa al rif. K
l'insieme dei punti Q che soddisfano
d(P,Q) < r
che cosa succede se calcoliamo, per fissati punti P,Q, la suddetta
distanza usando le coordinate di K'?
La risposta l'ha già data FP: la palla si trasforma in un ellissoide
(evito la dimostrazione).
E' un problema questo? No.
A noi la distanza serve solo per definire gli aperti e gli intorni.
Per inciso, non avevo dato la definizione di *intorno* di un punto.
Semplicissimo: si chiama intorno di P ogni aperto di M che contenga P.
In particolare sono intorni le palle di centro P.
Ora accade questo: che se usiamo le coord. di K' la palla diventa un
ellissoide, ma questo ellissoide contiene sempre una palla di centro P
ed è contenuto in una palla di centro P.
Ne segue (non è proprio banale, ma fidatevi ...) che la topologia (ossia
gli aperti) rimane la stessa, che si usino le coord. di K o quelle di K'.
In breve: la topologia che avevamo definito *è invariante* per trasf. di
Lorentz.
Mi pare che possa bastare, ma se servono chiarimenti, sono qui.
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Elio Fabri
Received on Fri Sep 13 2019 - 17:31:57 CEST