"dantez2003" ha scritto nel messaggio
news:1118124937.036866.212690_at_o13g2000cwo.googlegroups.com...
>....
> v(t)=vr(t)+vc(t); poi ponendo vr(t)=R*i(t) e
> vc(t)=1/C*integrale(i(t)*dt) ho sostituito ottendendo:
> v(t)=R*i(t)+1/C*integrale(i(t)*dt).
OK, perfetto (magari giusto una parentesi che racchiuda 1/C non ci starebbe
male, ma ci capiamo lo stesso).
> A questo punto per� non so come
> risolvere questa equazione con integrale. Ho anche pensato che, essendo
> l'integrale l'operazione inversa della derivata, potrei considerare
> integrale(i(t)*dt) la mia incognita che chiamer� y, risultanto i(t) la
> sua derivata y' ed ottenendo una equazione differenziale del tipo:
> v(t)=R*y'+1/C*y. Come posso risolverla ora, ammettendo che il mio
> ragionamento sia esatto?
Porre y(t)=integrale(i(t)*dt) va bene, pero', di solito, per lasciare come
incognita i(t), si preferisce, piuttosto, derivare membro a membro
l'equazione di partenza, ottenendo
v'(t)=R*i'(t)+(1/C)*i(t) = R*(di/dt)+(1/C)i
Chiamiamo questa equazione "[a]".
Questa e' un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, del
primo ordine, non omogenea, cioe' e' presente un termine noto [precisamente
v'(t)], ossia un termine che non dipende dall'incognita.
L'integrale generale di questa equazione (ossia l'insieme delle sue
soluzioni), si ottiene sommando una sua soluzione particolare ip(t)
all'integrale generale dell'equazione omogenea associata, la quale e'
0=R*i'(t)+(1/C)*i(t) = R*(di/dt)+(1/C)i
L'omogenea associata puo' essere risolta per esparazione di variabili:
Ossevando che la funzione costante i=0 e' soluzione, possiamo supporre
i diverso da 0
e dividere membro a membro per i, ottenendo
di/i = -dt/RC
Integrando membro a membro
log(|i|) = -t/RC + c
dove c e' una costante reale additiva arbitraria di integrazione,
da cui
i(t) = +- (e^c)*e^(-t/RC)
Includendo anche la soluzione i=0 che avevamo escluso, possiamo scrivere
i(t) = K * e^(-t/RC)
dove K e' una costante reale moltiplicativa arbitraria.
Abbiamo cos� ottenuto l'integrale generale dell'omogenea associata.
Come detto prima, per avere l'integrale generale dell'equazione completa
[a], dobbiamo sommare a quest'ultimo integrale generale scritto, una
soluzione particolare ip(t) della [a].
In sintesi, l'integrale generale della [a] e'
i(t) = K * e^(-t/RC) +ip(t)
cioe' ogni soluzione della [a] si scrive sempre in questa forma.
Il tuo problema, ora, e' trovare una soluzione particolare ip(t).
Poiche' stai dicendo che v(t), quindi anche v'(t) e' una funzione generica,
non c'e' un modo generale per ricavare la soluzione particolare ip(t), la
devi cercare caso per caso.
Per esempio, se v(t) e' una funzione sinusoidale, puoi utilizzare il noto
metodo simbolico (quello che introduce funzioni complesse esponenziali, di
cui poi si considerano solo le parti reali).
Spero di esserti utile, ciao.
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Gino, al secolo "Gigino Core Pazzo"
corepazzo_at_gmail.com
Received on Tue Jun 07 2005 - 14:50:59 CEST