Il 10 Mag 2005, 00:54, Winston Smith <wsmith_at_despammed.com> ha scritto:
> Tetis wrote:
> > Tieni presente per� che esiste
> > una selva di definizioni di variet� differenziabile.
> [cut]
>
> In realt� di definizione ne esiste una sola: quella di variet�
> differenziabile *di classe C^k*, dove k � il grado di differenziabilit�
> delle trasformazioni tra carte locali.
> Peraltro, se non ricordo male esiste un teorema secondo cui, se una
> variet� ammette una struttura differenziabile di classe C^1, allora ne
> ammette anche una (eventualmente pi� piccola) di classe C^inf, per cui
> non � in teoria restrittivo limitarsi a considerare quest'ultimo caso.
> (Certo che se poi a uno servono proprio quelle coordinate che restano
> tagliate fuori...)
Anzitutto ti ringrazio di questa spiegazione, che ha il pregio di essere
mossa dall'intenzione positiva di togliere confusione dove forse ce
n'era gia' troppa, tuttavia questo mi sembra non basti. Quando
uno studia i sistemi dinamici trova per esempio nel caso delle dimostrazioni
del teorema KAM che occorre una differenziabilita' di ordine C^{2+\epsilon}.
Cosa significa questo genere di scrittura? Ha qualcosa a che fare con la
derivabilita' a tratti, con la derivabilita' in spazi funzionali?
Inoltre quello che dicevo era mosso dalla considerazione che la definizione
che ci hai ricordato oltre che dipendere da k e dalla dimensione, e
contenere
quindi in effetti infiniti tipi di varieta' prevede una dimensionalita'
finita. A questo
scopo sono state proposte le varieta' di Frechet. In effetti quando
consideri uno
spazio di Banach, se lo doti di una opportuna struttura differenziale noti
che ha una
struttura in tutto simile a quella di varieta' differenziabile. Pero' e'
infinito dimensionale
Ancora, nelle applicazioni piu' concrete, uno mette sopra una varieta' delle
funzioni,
delle metriche, e costruisce dei morfismi fra strutture diverse, questo ha
portato a
riconoscere una difficolta' non legata solo alla scomodita', nella
definizione di varieta'
che hai ricordato, ed alla formulazione della nozione di spazi diffeologici.
Ed allora
non e' raro trovare oggi dei libri, ma soprattutto articoli di ricerca in
campi applicativi
in cui la formulazione della nozione di varieta' passa attraverso la teoria
di Stone e la
caratterizzazione mediante diffeomeomorfismi.
D'altra parte la nozione di varieta' fuchsiana, di superfice di Riemann, di
rivestimento
universale, di gruppo di omotopia, sono nozioni che hanno ormai piu' di un
secolo e
si impongono in modo abbastanza naturale senza troppe pretese sulla
differenziabilita',
tanto da far sospettare che quello che conta sono i gruppi di invarianza.
Gli sviluppi
spettacolari della teoria algebrica, la connessione fra le simmetrie
discrete e le simmetrie
continue vanno imponendo un nuovo punto di vista, anche rispetto alla
nozione di
differenziabilita' e di "spazio tangente": per esempio la necessita' di
ricorrere alla struttura
di spin rende insufficiente la struttura di spazio vettoriale, pure se
metrico. Nel frattempo
le derivate di Frechet gli spazi di Banach, e di Hilbert sono entrati a
pieno titolo in
molti programmi dei corsi di laurea in fisica ed allora
negare ad uno studente una applicazione come quella alla generalizzazione
della
nozione di varieta' ad infinite dimensioni risulta una limitazione
della liberta' paragonabile ad una tortura psicologica. Come chiedergli di
raccontare
un paesaggio senza usare mai la parola sfumatura ed evitando i nomi dei
colori.
Si puo' fare, ma perche'?
>
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> --
> ws
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Received on Tue May 17 2005 - 13:56:12 CEST