Re: Trasformate di Legendre

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: 9 May 2005 04:29:42 -0700

Giovanna ha scritto:
> Cari amici

> -----------------------------------------------------------------
> Domanda sui fibrati
> -----------------------------------------------------------------
>
> Antefatto:
>
> - una funzione � ... una funzione. ok. :-)
> - una derivata � anch'essa una funzione, ma in virt� del suo status
di
> derivata � una funzione
> "un po' speciale" nel senso che
> "Sia f una funzione numerica definita nell'intervallo I e ivi
> derivabile. Allora
> f' non pu� ammettere in I che discontinuit� di seconda specie"
>
> Fatto:
>
> Per analogia (o, forse, solo per assonanza), mi viene un sospetto:
>
> - una variet� differenziabile � ... una variet� differenziabile.
ok. :-)
> - un fibrato tangente (e/o uno cotangente) � anch'esso una variet�
> differenziabile ma non � che
> dall'essere fibrato di una variet� gli discenda qualche speciale
> propriet� ?

Non so rispondere, occorre un cultore della materia.
 Tieni presente per� che esiste
una selva di definizioni di variet� differenziabile.
Le pi� radicali non guardano in faccia a nessuno e
chiedono che le carte della variet� siano tutte infinite
volte differenziabili. Le pi� delicate chiedono solo il
primo ordine di derivazione, ma devono porre molta attenzione
nel discutere gli altri ordini di derivazione. Le definizioni
adottattate in meccanica richiedono un numero variabile di
ordini di derivabilit� secondo il teorema necessario. In
particolare se vuoi le accelerazioni � istintivo pensare che
il primo ordine di differenziabilit� sia insufficiente.

> Che, magari, non � necessariamente condivisa dalle variet�
> differenziabile che (diciamo cos�) non "hanno una primitiva" nel
senso
> che non esiste una variet� differenziabile di cui esse siano il
> fibrato tangente ?

Diciamo che un fibrato � una variet� differenziabile, ma
� anche qualcosa di pi�. TM � una dicitura sintetica per
intendere una struttura logica pi� complessa che non quella
di variet�. Il fibrato tangente � un fibrato vettoriale, la
cui definizione richiede l'esistenza di una "mappa"
da una variet� allo spazio delle fibre. In modo che ad ogni
punto associ uno spazio vettoriale che � elemento di uno spazio
pi� ampio, il modo pi� semplice di pensare questo spazio � come
prodotto cartesiano di M con uno spazio vettoriale.

La definizione pi� generale di fibrato vettoriale non richiede
una variet� e la trovi spesso scritta nella forma inversa di
quella che ti ho detto qui su.

Un fibrato vettoriale � dato
da uno spazio topologico, che non � necessariamente una variet�,
e da una mappa in questo spazio topologico, che chiamo proiezione, e
che proietta ogni punto della coppia (x,v) nel punto x della variet�
ed inoltre per ogni punto di questo spazio la controimmagine � uno
spazio vettoriale. Infatti fissato l'indice le coppie (x,v) sono
uno spazio vettoriale.

> Peraltro, se non ho frainteso quanto scrive Schutz in "Geometrical
> methods of mathematical
> physics" (cap. "A deeper look at fiber bundles") distinguendo tra
fiber
> bundles che sono 'locally trivial' da quelli che sono 'globally
> trivial' mi pare di capire che data una variet�
> differenziabile se ne possano generare *PIU' DI UNA* che localmente
ne
> sono il fibrato tangente
> ma che 'globalmente' sono diverse.
> (Se fosse vero uno stesso spazio delle configurazioni, a parit� di
> struttura riemanniana definita dall'energia cinetica, potrebbe
ospitare
> dinamiche diverse)
> Ho preso fischi per fiaschi ? Lucciole per lanterne ? Assi per coppe
?

Forse un p� di tutte e tre ma non pi� di tanto.
Anzitutto il fibrato non ha una struttura riemanniana
di per se. Una lagrangiana come l'energia cinetica
induce una struttura metrica che � minima sulle traiettorie
e se ne infischia della parametrizzazione. Ma la situazione
generale � pi� complicata infatti la lagrangiana pu� dipendere
anche dalla posizione, ed infine la lagrangiana pu� dipendere
anche dal tempo. Quindi certamente a parit� di energia cinetica
sono possibili tante dinamiche quante sono le lagrangiane che puoi
scrivere. E' vera infine un'altra cosa: fissata l'energia, in una
situazione in cui la lagrangiana non dipende dal tempo, esiste una
metrica che � minima sulle traiettorie. Questo � un effetto
dell'esistenza
di una particolare struttura di contatto sulle sotto-variet� dello
spazio delle fasi nelle quali l'energia � costante. Questa particolare
struttura
di contatto � quella che d� luogo ai cosiddetti spray. Ovvero
strutture differenziali di secondo ordine nello spazio delle
configurazioni
in cui le accelerazioni dipendono quadraticamente dalla velocit�.
Effetto, diciamo, dell'arbitrariet� dell'unit� di misura del tempo.


> -----------------------------------------------------------------
> Saluti
> -----------------------------------------------------------------
>
> Saluti, saluti, saluti.
>
> Giovanna
Received on Mon May 09 2005 - 13:29:42 CEST