Re: Trasformate di Legendre

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 05 May 2005 20:51:03 +0200

Giorgio Pastore ha scritto:
> Per niente. Esiste sempre la possibilita' di introdurre delle
> "hamiltoniane parziali" (non e' un nome standard, lo sto introducendo
> io per farli capire). in cui si faccia la TDL solo su alcune velocita'
> generalizzate. E' un capitolo un po' esotico della meccanica ma
> esiste. Si chiama formulazione di Routh. E le "hamiltoniane parziali"
> si chiamano "funzioni di Routh". Puoi trovarle in una sezione del
> libretto di F. Gantmacher "Lectures in analytical mechanics" Mir (le
> mitiche edizioni Mir!), 1975.
E' vero...
Ora che lo dici, mi ricordo di avere incontrato questa roba quando ero
studente, credo leggendo il Whitaker "Analytical Dynamics". Poi piu'.
Voglio dire che non ricordo di averne mai vista alcuna applicazione.

Tetis ha scritto:
> Se derivi la 21 trovi 0 = dT^dS - dP ^ dV = dT^dS +dV^dP, che e' vera
> solo su una sottovarieta' delle trasformazioni nello spazio delle
> fasi, che per mr Peterson mi sembra che sia dato dalle coordinate S,P
> e dagli impulsi T,V anzi e' quello che dichiara esplicitamente.
Si', pero' la cosa mi resta indigesta (chissa' se Giovanna ne sara'
lieta oppure :-) )

Sto continuando a cercare di chiarirmi le idee, ma con scarsi
risultati.
Pero' mi e' venuto in mente questo: l'espressione
dS = \sum p_i dq_i - H dt
e' una cosa. Ma poi c'e'
dS = \sum p_i dq_i - \sum P_i dQ_i.
Mentre la prima vale per l'azione (integrale di L su una traiettoria
di fase, funzione di q_i, t) la seconda riguarda invece la generatrice
della trasf. canonica che fa passare dalle (p,q) alle (P,Q).

Se ho capito qualcosa, il punto di vista di Peterson sarebbe il primo,
con E (energia interna) al posto di S.
Ossia per lui lo spazio delle fasi avrebbe 4 dimensioni, dove
coordinate lagrangiane sarebbero S,V e i momenti coniugati T,-P.

A me pare piu' promettente dire che lo spazio delle fasi ha dimensione
2, e che che tanto la coppia (S,T) quanto la (V,P) danno coordinate
canoniche.
La struttura simplettica e' data dalla 2-forma dT^dS che e' identica a
dP^dV, proprio grazie alla
dE = T dS - P dV.
Gli altri potenziali termodinamici sono le generatrici di altre trasf.
canoniche, corrispondenti al fatto che anche (T,-S) e (P,-V) sono
coord. canoniche.

Non sono andato oltre, ma intanto ditemi che ne pensate.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu May 05 2005 - 20:51:03 CEST