Cari amici
Dopo qualche giorno di riflessione torno sulla faccenda delle trasformate
di Legendre. Vi ringrazio molto per le vostre risposte e provo, nel
seguito, a ragionare un p� ad alta voce su questo argomento.
Rileggendo il messaggio mi sono resa conto che � un po' (troppo)
disorganico; ... ma quello che sto facendo � proprio tentare di far
combaciare i pezzi.
------ Punto 1.
Il ruolo standard giocato in termodinamica dalle trasformate di Legendre
(TDL di qui in avanti) trova, a mio avviso, la pi� lucida rappresentazione
in
Sergio Carra - Termodinamica - Bollati Boringhieri
dove viene discusso in dettaglio il sistema costituito da un gas perfetto.
(i) viene mostrato che l'informazione massimale sulle sue propriet� �
contenuta nella equazione costitutiva U = U(S V n) e che il tentativo
naif di sostitute T ad S come parametro porta, da un canto all'equazione
di stato, dall'altro ad una perdita di informazione che deve essere
ripristinata con un'affermazione inerente il calore specifico isocoro.
(ii) viene presentata la TDL in maniera sostanzialmente identica al Callen
(non manca la famigerata figura con l'inviluppo di una curva)
(iii) Vengono introdotti i potenziali termodinamici entalpico, di Gibbs,
di Helmoltz. La 'ricetta' funziona. Non c'� dubbio. Mi � stato chiesto, in
un messaggio, se mi trovassi a mio agio con il passaggio formale dalle
equazioni di Lagrange a quelle di Hamilton. Beh, la risposta �: nel caso
meccanico, come in quello termodinamico, sono in grado seguire "le
prescrizioni". Di comprenderne il significato no. Ed ancora una volta il
punto chiave �: se passando alla rappresentazione di una funzione in
termini della sua derivata (Clairaut docet) si perde informazione (viene,
ad esempio, introdotto una parametro libero sotto forma di una costante di
integrazione) come fa la TDL a impacchettare dentro l'equazione H=H(S P n)
tutta l'informazione che era contenuta in U = U(S V n) ? E'chiaro che la
questione trascende la manipolazione formale dei simboli e richiede una
pi� profonda comprensione delle strutture matematiche soggiacenti.
------ Punto 2.
Ero ferma a questo punto. Vagavo in una valle di dolore, quando ho pescato
il lavoro di Mark Peterson "Analogy between thermodynamics and mechanics"
(Am. J. Phys. 47(6)) dove si mette in rilievo che
- la termodinamica possiede una naturale struttura simplettica
- la termodinamica possiede delle sue proprie parentesi di Poisson
fondamentali
[T,S] = -1
[V,P] = -1
- cito: "That the Legendre transformations familiar in thermodynamics are
special cases of the canonical coordinate transformations familiar in
mechanics is often noted. This ... analogy ... has been explored ... in
Corben e Sthele".
Allora, se i potenziali termodinamici hanno ciascuno il ruolo di
"hamiltoniana del sistema" � ragionevole ipotizzare che la TDL,
sostanzialmente, sia una tecnica per generare strutture differenziabili
diffeomorfe e di trasformare il campo vettoriale le cui curve integrali
sono le leggi di evoluzione del sistema in maniera tale che di queste
ultime vengano preservate propriet� essenziali (quali ?? non certo la
parametrizzazione).
------ Punto 3.
Questo genere di approccio sembrerebbe essere confortato da quanto scrive
Antonio Romano in
"Meccanica classica ed elementi di relativit�" - Liguori Editore
dove pag. 116 la TDL di un sistema dinamico (della sua lagrangiana, cio�)
viene presentata come una trasformazione dal
fibrato tangente ( fibrato tangente (spazio delle configurazioni) )
a
fibrato tangente ( fibrato cotangente (spazio delle configurazioni) )
Tuttavia rimangono aperti gli interrogativi associati a punti chiave:
(i) dove viene introdotta, dalle TDL, la riduzione di un sistema di
equazioni differenziali del secondo ordine ad uno del primo?
(ii) se si confronta quanto scrive Romano con quanto scrive Arnold (Teo.
geom. delle eq. diff. ord.) si forma forte il sospetto che l'uso che si fa
in meccanica delle TDL sia tutt'altro che 'naturale' nel senso che far
intervenire come dominio e codominio della mappa variet� con strutture
topologiche e differenziali appare sovrabbondante rispetto alle
richieste minimali perch� se ne possa parlare, che � solo l'esistenza di
una struttura lineare.
Punto 4.
Mi era venuto "un lampo di genio" (mentre picchiavo mio fratello, che si
lascia spesso malmenare dalla sua sorellina minore; lo ringrazio
pubblicamente per il suo contributo ai miei studi).
Mi ero detta: se 'sta famigerata figura dell'inviluppo fa comparire le
rette (che in sostanza sono 1-forme) vuoi vedere che le TDL sono in realt�
niente altro che la riscrittura del campo vettoriale, che definisce una
equazione differenziale, in termini di componenti covarianti ?
E, rispondendo anche a quanto mi veniva chiesto dal prof. Giorgio Pastore
nel suo post, preciso: se passo dal campo scritto in coordinate
controvarianti al campo scritto in coordinate covarianti
e ne trasformo pure le CURVE integrali in maniera che il relativo vettore
tangente sia quello del campo � possibile che abbia individuato il
sistema differenziale associato dalle TDL al primo. Mi sono presto resa
conto di stare pestando acqua nel mortaio: se abbasso dappertutto gli
indici con la matrice metrica ... sono al punto di partenza, con 2n
equazioni non con n, etc. etc.
------ Punto 5.
Sto cercando il Courant e Hilbert "Methods of mathematical physics".
Ho guadato e l'Abraham e Marsden ma non sono riuscita a trovare nulla
sulle TDL; mi viene un dubbio: stiamo parlando di "Manifold, tensor
analysis and applications" ?
Ciao moderatore, ti sono grata di esserti sorbito 'sto papiro
interminabile.
Giovanna
P.S.
Perch� nelle Universit� ci trattano cos� ?
Perch� le cose non ce le spiegano B-E-N-E ?
E' vero che sto al secondo anno, per� ... !!
Perch� dobbiamo fare 'ste decifrazioni dei geroglifici del faraone ?
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Received on Sat Apr 30 2005 - 21:22:51 CEST