Elio Fabri wrote:
> Paolo Ferraresi ha scritto:
>
>> Ho applicato le equazioni di Navier-Stokes a due lastre parallele di
>> dimensioni molto estese poste ad un'altezza h l'una dall'altra.
>> ...
>> Fin qua direi che mi � andata abbastanza bene.
>
> Non ho seguito in dettaglio i conti, ma direi anch'io che te la sei
> cavata bene.
>
Ciao,
son d'accordo: tranne un semplice coefficiente 1/2 che manca
nell'espressione di ux, la trattazione che Paolo ha fatto di questo
problema, che � detto problema di Poiseuille piano, � ottima, e gli
faccio i miei pi� vivi complimenti. Lo studio da autodidatta della
fluidodinamica � senza dubbio uno sforzo encomiabile: se ti dovesse
servire qualche dritta, d� un'occhiata alla mia firma. Tieni conto per�
che si tratta di una materia che presenta vari problemi semplicissimi da
enunciare, di cui oggi nessuno, sia esso matematico, ingegnere o fisico,
conosce la soluzione.
>> Ora il mio problema � questo: se ora volessi passare da due lastre
>> come nel precedente esempio ad una sezione rettangolare, che quindi
>> rimane alta h e larga k (lungo l'asse z), ed il fluido reale ora
>> circola al suo interno, avrei ux(y,z) giusto?
>>
>> Avrei la prima equazione
>>
>> 0=dp/dx - mu*(d^2ux/dy^2 + d^2ux/dz^2)
>>
>> giusto ?
>>
>> Se � cos�, per� non so pi� come fare ad ottenere la velocit� del
>> fluido.
>
> Le parole chiave sono: "separazione delle variabili".
> Prova a porre per ux una funzione del tipo f(y)*g(z).
>
No, Elio,il problema � lineare ma non omogeneo e quindi la separazione
delle variabili fa cilecca. Io avrei usato un approccio diverso gi� nel
trattare la pressione, comunque l'importante � dimostrare, come fai
anche tu, che dp/dx � una costante, e cos� l'equazione di Paolo diviene
la seguente PDE (Partial Differential Equation, Equazione Differenziale
alle Derivate Parziali):
A) dp/dx*1/mu = b/mu = G = d^2ux/dy^2 + d^2ux/dz^2
Se provassimo a separare le variabili con la posizione ux = f(y)*g(z),
avremmo:
f''*g + f*g'' = G
Ora G =\= 0, naturalmente (se no non ci sarebbe flusso nel condotto!),
per cui non puoi ricondurti a due EDO distinte: derivare ancora rispetto
ad una delle variabili, oltre a complicare il tutto, introdurrebbe
un'incomprensibile dissimmetria in un problema che invece � del tutto
simmetrico in y e z, a meno di un semplice cambio di scala se a =\= b. E
derivare rispetto ad y E a z ti lascerebbe senza il problema di
Sturm-Liouville che invece desideri per proseguire. Quindi la
separazione delle variabili fallisce.
Il metodo valido � semmai il metodo di Fourier, che � in effetti
"l'estrema conseguenza" del metodo di separazione delle variabili: lo
presento in modo molto informale cos� dovrebbe essere chiaro anche a Paolo.
Noi vogliamo risolvere A) con le condizioni al contorno
B)ux(0,z)=0, ux(h,z)=0; ux(y,0)=0, ux(y,k)=0
Allora un'idea pu� essere cercare le autofunzioni dell'operatore
L = d^2/dy2+d^2/dz^2 con le suddette condizioni al contorno: cio�
cercare funzioni f_n(y,z) che soddisfano le condizioni al contorno, e
tali che L[f_n]= lambda_n * f_n, cio� tali che se ci applico L,
riottengo la funzione a meno di una costante: la costante lambda_n �
detta autovalore. Perch� lo faccio? Perch� se riuscissi a scrivere ux
come combinazione lineare di queste funzioni,
cio� ux(y,z) = sum(i=1,k, c_k*f_k(y,z)) allora 1) soddisfo
automaticamente le condizioni al contorno e 2) poich� L � un operatore
lineare, ho L[ux]=sum(i=1,k, c_k*L[f_k])= sum(i=1,k, c_k*lambda_k*f_k).
Dirai: bello, ma che me ne faccio? B�, supponi che anche il termine noto
di A), cio� nel nostro caso dp/dx*1/mu = G =cost. ma in generale F(y,z),
sia esprimibile come combinazione lineare di delle f_n, cio� F =
sum(i=1,k, d_k*f_k), allora tu avresti sum(i=1,k, c_k*lambda_k*f_k) =
sum(i=1,k, d_k*f_k), e, se le f_k soddisfano una condizione detta di
ortogonalit�, tu puoi dire che dev'essere c_k = d_k/lambda_k, cio� hai
determinato la combinazione lineare di f_n che ti d� la soluzione!
Ora, quali sono le autofunzioni di L, sul tuo dominio rettangolare? Sono
queste (ometto la semplice "dimostrazione" per non allungare troppo il
brodo, comunque si possono ottenere con l'approccio di Elio):
f_{i,j}(y,z) = sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z)
ed i corrispondenti autovalori sono:
lambda_{i,j} = -pi^2*((i/h)^2+(j/k)^2)
Ora, F(y,z) � scrivibile come combinazione lineare di queste
autofunzioni? Si dimostra che una vasta classe di funzioni lo � "quasi",
cio� che se sommi tante di queste autofunzioni, puoi ottenere una
funzione F1 tale che l'integrale doppio del quadrato della differenza
fra F1 e F sul rettangolo [0,h]x[0,k] tende a zero al tendere
all'infinito del numero di autofunzioni che usi, cio� F si esprime come
una doppia serie di Fourier (*). Nel nostro caso particolare F = G =
cost. ho:
G = sum(i=1..inf,j=i..inf,d_{i,j}*sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z))
con
d_{i,j} = G*h*(-1+cos(i*pi))*k*(-1+cos(j*pi))/(pi^2*i*j)
Anche qui ometto la dimostrazione, ma � analoga a quella che si fa per
determinare i coefficienti di Fourier di una serie di Fourier "classica".
In conclusione, come avevamo detto ux sar� data anche'essa da una doppia
serie di Fourier i cui coefficienti sono d_{i,j}/lambda_{i,j}, cio�
ux_{i,j} =
-dp/dx*1/mu*sum(i=1..inf,j=i..inf,h*(-1+cos(i*Pi))*k*(-1+cos(j*Pi))/(Pi^2*i*j)/
(pi^2*((i/h)^2+(j/k)^2))*sen(i*pi/h*y)*sen(j*pi/h*z))
Anche se l'espressione � "obbrobriosa", � interessante notare la sua
assoluta simmetria in y e z, come ci aspettavamo fisicamente, e, se si
sa usare un programma di matematica, � divertente sommare i primi
termini della serie e vedere come la soluzione "assomiglia" a quella
ricavata tramite una soluzione numerica di A) con le condizioni al
contorno B), oppure sommare i primi termini dell'espressione di G come
serie e vedere se tende effettivamente a G = cost. (qui si ha una
sorpresa!) In entrambi i casi vanni usati moltissimi termini, poich� le
doppie serie di Fourier sono note per la loro lenta convergenza.
Ciao,
Andrea
--
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Received on Sat Apr 02 2005 - 17:16:45 CEST