Re: il paradosso dei due palloncini

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 21 Mar 2005 21:09:27 GMT

                   l 04 Mar 2005, 08:37, derfelaelle_at_yahoo.it (Derfel) ha scritto:
> rofilippi_at_libero.it (roberto) wrote in message
news:<fc9060c8.0502190657.10d7fe92_at_posting.google.com>...
> > Una mia studentessa per stupirmi mi dice che in una trasmissione di
> > fisica hanno detto la seguente cosa: se prendiamo due palloncini
> > identici e li gonfiamo in modo diverso, dopodich� li mettiamo in
> > contatto il palloncino che si gonfier� sar� quello pi� gonfio e non
> > come intuitivamente potrebbe sembrare quello di meno.
> Se entrambi i palloncini lavorano in campo elastico e la costante di
> proporzionalit� tra tensione e deformazione della membrana � la
> stessa, il palloncino pi� grande si sgonfia soffiando aria dentro al
> piccolo (che si gonfia).
>
> Derfel

W la coerenza!

Considero l'energia x^2+y^2 ed il vincolo x+y = V_tot
con x>0 ed y>0. Minimizzo la funzione:
x^2 + (V-x)^2 = 2 x^2 - 2 V x + V^2
derivando rispetto ad x. 4x - 2V =0
dunque x=V/2 e' la soluzione di equilibrio.

Ora provo con un altra variante. Il vincolo sia x^3 + y^3 = V.
In tal caso l'equazione diventa certamente
x^2+(V-x^3)^(2/3) ed uguagliando a zero la
derivata si trova, sbagliando: x= 2/3 V^(1/3).
Invece la valutazione esatta porta ancora ad x^3 = V/2.

Probabilmente occorre considerare allora un
fenomeno aggiuntivo nell'espressione dell'energia.

Infatti l'aria fluisce dal palloncino con
pressione piu' alta al palloncino con pressione piu' bassa.
Con cio' l'energia elastica complessiva aumenta, infatti la
diminuzione di energia elastica per il palloncino piu' piccolo
e' minore dell'aumento di energia elastica del palloncino
piu' grande, in quanto la funzione: x^2+(V-x^3)^(2/3) ha un
punto stazionario in x=V/2, come gia' abbiamo dimostrato, ed
inoltre e' convessa.

Se utilizziamo un estensore,
ovvero un martinetto, per controllare il flusso, l'energia guada-
gnata dall'estensore risulta pari alla differenza di pressione per
lo spostamento lineare. Ora la differenza di pressione e' data
da:

[1/x - 1/(V-x^3)^(2/3)]

(Per vedere come e' stato ottenuto questo andamento vedi
l'altro e-mail che ho inviato su questo thread).
Lo spostamento della parete sostenuta dall'estensore
risulta lineare nella variazione di volume, ovvero in un
termine differenziale: -x^2 dx. Se x e' il raggio del palloncino
in basso e supponiamo che il palloncino in basso e' quello
meno gonfio. Ne risulta che la variazione di
energia e':

-x + x^2/(V-x^3)^(1/3)

****************************************************************
NOTA CRITICA:

In verita' il bilancio dettagliato risulta piu'
complesso perche' la pressione al diminuire del raggio
risulta avere un andamento piu' complesso rispetto ad 1/x.
(Confronta ad esempio con l'osservazione di Bruno Cocciaro
circa il fatto che a riposo il palloncino ha un volume non nullo
ed una superfice non nulle).
Inoltre la variazione di x^3 non misura esattamente
lo spostamento del setto. Perche' la pressione aumenta e
dunque occorrerebbe impostare l'equazione adiabatica
pV^gamma = K in modo che in effetti il lavoro fatto sul martinetto
non risultera' esattamente uguale all'aumento di energia elastica.
In quanto una parte dell'energia va in energia di compressione del
gas. Comunque su questo punto tornero' in seguito. Per il momento
ammettiamo questa schematizzazione sbagliata e vediamo dove
conduce. C'e' da riconoscere che la schematizzazione e' proprio
assurda perche' in effetti il volume del gas viene assunto invariato
mentre una pressione cresce e l'altra diminuisce, quindi il gas in
verita' non sta facendo lavoro, stiamo assumendo che non stia
scambiando nemmeno energia termica, e tuttavia il suo stato sta
cambiando. Un vero e proprio miracolo :-{ .
*******************************************************************

seguitiamo:

dobbiamo allora cercare un potenziale efficace che renda
conto di questa variazione di energia del martinetto.
Questo potenziale efficace e' certamente
l'integrale della funzione -x + x^2/(V-x^3)^(1/3).
L'integrale di questa funzione e' certamente:
-x^2 - (V-x^3)^(2/3). Allora questa e' una misura
dell'energia accumulata dall'estensore cambiata di
segno. Ed e' proprio l'energia complessiva del sistema:
palloncini + gas. Questo sistema ora minimizzera' la
propria energia facendo lavoro sull'estensore. E fara'
lavoro sull'estensore fino ad avere raggiunto il minimo
energetico.

Dunque siamo in grado di costruire un bilancio
globale dell'energia (non proprio: vedi nota critica,
si tratta di un bilancio coerente con una
approssimazione non fisica della trasformazione, tuttavia
questo bilancio e' qualitativamente in accordo con quello
fisicamente corretto).
In questo bilancio la funzione energia
e' ancora la funzione di prima ma cambiata di segno,
e' una funzione con un minimo in x=0 ed uno in x^3 = V.
Minimo oltretutto a derivata non nulla e dovuto solo alle
restrizioni geometriche su x. La derivata risulta invece
nulla in x = 0. Come doveva. Quindi in effetti abbiamo ottenuto
una spiegazione consistente con i fenomeni attesi.

La considerazione della situazione concreta va condotta da un punto
di vista piu' termodinamico e la risposta e' elementare, ma comunque
non banale, solo se assumiamo trasformazioni lente, altrimenti e' solo
non banale. Tutto quello che possiamo tentare con semplicita' nel caso
di flusso rapido e' stabilire disuguaglianze oppure modellizzare con
attenzione i flussi d'aria e la produzione di entropia, oppure seguire
la via dell'esperimento. Quello che si verifica ha qualcosa di
controintuitivo: l'energia interna e la temperatura finale del gas
risulteranno piu' alte, ma anche la pressione sara' piu' alta, con
il risultato di un minore volume e di una minore energia elastica.
 
Le forze di pressione che sono in disequilibrio portano
gas dal settore piu' compresso (1) a quello meno compresso (2).
Se il gas fluisce molto lentamente allora possiamo impostare
per l'insieme dei due gas il bilancio energetico:

dU1 =T1 dS1 - p1 dV1 - 3/2 k T1 dN
dU2 =T2 dS2 - p2 dV2 + 3/2 k T2 dN
 
p1>p2

La variazione complessiva porta ad una diminuzione di U.
Cioe' dU = dU1 + dU2 < 0 mentre l'energia elastica cresce
in misura pari a p1 dV1 + p2 dV2 ed e' un numero positivo.
3/2 k (T2 - T1) dN varia in accordo con il segno di T2 � T1.
Risulta che la variazione di energia elastica misura la
variazione di energia termica che e' data da:

T1 dS1 + T2 dS2 + 3/2 dNk(T2-T1)

Ovvero la variazione di energia totale meno il lavoro meccanico.
Possiamo allora trovare la temperatura ad ogni istante se assumiamo
che il sistema non scambi calore con l'esterno. In tal caso
T1 dS1 + T2 dS2 + 3/2 Nk(T2-T1) = 0. Questa equazione insieme
con la conoscenza delle funzioni p1(r1), p2(r2), V1(r1), V2(r2)
e con la conoscenza della equazione di stato permette di
risalire alle tre funzioni T1(r1) T2(r2) N(r1). Mentre N1(r1)
ed N2(r2) si desumono dal vincolo N1(r1)+ N2(r2)=N.


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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Mar 21 2005 - 22:09:27 CET

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