Floriana wrote:
> Salve a tutti. Sto preparando l'esame di metodi matematici della
> fisica. Qualcuno potrebbe darmi la definizione precisa e rigorosa di
> valore principale di un integrale secondo Cauchy, mettendone in
> evidenza le differenze ripetto alla nozione di integrale improprio?
FOrse per la definizione rigorosa it.scienza.matematica e' un ng piu'
adatto. Comunque la def. di valore principale e' come segue:
Considera una funzione f(x) definita in [a,b] con una singolarita' in c,
punto interno di [a,b]. Il normale integrale improprio si ottiene
calcolando l'integrale di f(x) su [a,c-e], sommandolo all' integrale di
f(x) su [a,c+e'], (dove e,e'>0) e prendendo il limite per e,e'->0
indipendentemente. Il valore principale si ottiene invece prendendo il
limite per e,e'->0 ma con e=e'.
Ovviamente il limite calcolato in questo secondo modo, essendo una
restrizione, esiste piu' spesso che nel primo caso. Un esempio e'
l'integrale di 1/x su [-1,1]. Questo integrale non esiste nel senso
usuale dell'integrale improprio; pero' esiste nel senso del valore
principale e vale zero, coerentemente col fatto che si tratta
dell'integrale di una funzione dispari su di un intervallo simmetrico
rispetto allo 0.
Analogo discorso si puo' fare per v.p. di integrali calcolati su [-oo,+oo].
--
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Received on Tue Mar 08 2005 - 15:00:56 CET