Il 20 Feb 2005, 11:24, cervetti_at_libero.it (Christian) ha scritto:
> Grazie per aver risposto.
>
> > Non mi pare che escano dalla derivata. Da come capisco io quel
> > passaggio, semplicemente si prende la derivata parziale di A in rappr.
> > di Schroedinger e si passa questo oggetto in rappresentazione di
> Heisenberg.
>
> Ok � proprio cos�, per� mi sfugge qualcosa:
> all'inizio lui definisce che:
> (indico A(H)= operatore A nella rappresentazione di Heisenberg, e A(S)=lo
> stesso operatore nella rapp. di Schrodinger)
>
> A(H) =U+ A(S) U
>
> Poi dice che � chiaro che (le derivate sono tutte parziali):
>
> dA(H)/dt = U+ dA(S)/dt U
Mi permetto di aggiungere un contributo a quanto gia' detto da Enrico.
Il libro dice in verita': se consideriamo l'operatore dA(S)/dt risulta che
questo
e' una funzione di certi operatori in rappresentazione di Schroedinger
e possiamo ottenere il corrispettivo di dA(S)/dt nella rappresentazione
di Heisenberg sostituendo uno ad uno questi operatori di Schroedinger
con i corrispondenti operatori di Heisenberg. Allora e' chiaro che :
dA(H)/dt = (U+) dA(S)/dt U.
> Non capisco perch� non �:
>
> dA(H)/dt = d[U+ A(S) U]/dt
Perche' la definizione che da' Messiah della derivata parziale
in rappresentazione di Heisenberg e' un'altra. Questo si rende
necessario per una convenienza simbolica legata alla comodita'
di ricordare la forma generale di un'equazione di Eulero. Ma ha
anche un aspetto piu' significativo legato alla nozione generale di
derivazione covariante e di flusso di fase prodotto da un campo di
velocita' su uno spazio delle fasi (o degli stati) di un sistema, quando
questo campo di velocita' risulti essere una derivazione di Lie generata
dall'azione di un operatore hermitiano sullo spazio. Vediamo di
superare lo shock delle definizioni astratte procedendo per gradi.
Esistono infatti pochi libri che trattano la nozione adeguata agli
scopi della meccanica quantistica. Quello che ho consultato io e'
Lang di geometria differenziale che tratta la nozione di varieta'
differenziabile senza vincolo di finitezza sui gradi di liberta'. Comunque
molto si puo' fare stando sulla solida base di un sistema finito
dimensionale.
Nella situazione piu' generale il flusso di fase e' una trasformazione
di una varieta' differenziabile (se la definizione astratta ti fa paura
pensa ad una superfice, o ad uno spazio euclideo) parametrizzata
con un numero reale ovvero e' una funzione X(x0,t) della varieta'
in se.
Il campo di velocita' e' il campo vettoriale che si ottiene
con una derivata parziale rispetto a t. Per esser piu' precisi il
campo di velocita' e' una funzione dalla varieta' nel duale.
Ma agli effetti pratici quello che fa il campo di velocita' e' di
fornire la variazione infinitesima, corrispondente all'intervallo
infinitesimo delta t, della fase del sistema, fase che possiamo
indicare come un punto della varieta' astratta delle fasi.
Nel nostro caso lo spazio delle fasi e' lo spazio di Hilbert del
sistema, il flusso di fase e' rappresentato dall'azione dell'operatore
di evoluzione temporale U(t,t0). Mentre il campo
di velocita' e' dato, per via dell'equazione di Schroedinger, da H,
che allo stato X associa la variazione infinitesima HX delta t.
Entrambi questi operatori agiscono sullo spazio degli stati di Hilbert.
Nelle situazioni specifiche, quando la varieta' e' uno spazio euclideo,
si ha che lo spazio tangente puo' essere rappresentato nello spazio
stesso, ed allora l'operatore di evoluzione temporale e' una trasformazione
per punti mentre il campo di velocita' e' una derivazione ovvero un campo
vettoriale funzione del punto.
Nel caso in questione la particolarita'
e' ancora piu' spinta abbiamo infatti da una parte uno spazio degli
stati euclideo ma infinito dimensionale e la trasformazione e' una
trasformazione unitaria. La situazione analoga in dimensione finita
e' data dalle rotazioni con gli atti di moto. L'hamiltoniana puo'
essere paragonata alla velocita' angolare, e l'operatore di evoluzione
temporale alla rotazione che applica la configurazione al tempo t0 alla
configurazione al tempo t. Tuttavia c'e' una differenza significativa
dovuta alla struttura complessa dello spazio delle fasi quantistico che
permette di ridursi sempre alla considerazione di operatori hermitiani.
Infatti il vero corrispondente della matrice del momento angolare non
e' H ma i H. Che e' in effetti anti hermitiano ed e' il generatore
infinitesimo
delle traslazioni temporali.
La specificita' quantistica sta nel numero
infinito di gradi di liberta'. Esistono in effetti situazioni come quella
del formalismo di Bloch in cui torna comodo assimilare l'evoluzione
temporale per un sistema quantistico con un numero finito di gradi di
liberta' ad una rotazione.
Manca solo di trovare chi svolge il
ruolo di osservabile nella situazione piu' generale. Questo
ruolo e' svolto evidentemente dalle funzioni di stato. Cioe' da
quelle funzioni che ad uno stato associano una grandezza
o una collezione di grandezze. L'equazione generale che
fornisce l'evoluzione di una funzione f(X(x0,t),t) e' data
dall'equazione di Eulero. Uno in quel caso calcola la
derivata totale esplicitando le derivate parziali argomento
per argomento.
df/dt = _at_f/_at_t + v*grad(f)
Ad ogni modo nel caso specifico, quello della meccanica
quantistica, stiamo guardando ad una situzione
particolare in cui le funzioni di stato sono invero gli
osservabili, ovvero operatori hermitiani che associano
ad uno stato un altro stato dello stesso sistema.
Per intendere in soldoni la lezione di Messiah e' allora
istruttivo considerare una situazione concreta in cui si
applica ed in cui lo spazio delle fasi e' finito dimensionale.
Dato un operatore A: lineare, dipendente dal tempo,
che agisce sullo spazio delle configurazioni di un
rotatore rigido, il cui atto di moto e' rappresentato
dalla matrice antisimmetrica Om studiare dA/dt nel
riferimento solidale con il rotatore, e questo corrispondera'
ad adottare la rappresentazione di Heisenberg. Mentre
l'operatore nel riferimento di laboratorio altro non e' se
non l'operatore in rappresentazione di Schroedinger.
La matrice del cambiamento di coordinate e' null'altro
che l'operatore di evoluzione temporale ovvero R(t,to)
la cui derivata e' Om(t). Essendo Om antisimmetrica
risulta che poiche' dR/dt = Om R ne segue che tutti
passaggi sono identici.
> Non capisco perch� non �:
>
> dA(H)/dt = d[U+ A(S) U]/dt
> o le due sono equivalenti?
No. Considera per esempio l' hamiltoniana:
Ez*t e l'operatore y*t. Ti accorgi che in tal caso la
derivata parziale che hai scritto su non e' in alcun modo
distinguibile dalla derivata totale. A tutti gli effetti, in questa
situazione in cui abbiamo considerato una funzione dipendente dal
tempo di operatori indipendenti dal tempo, l'unico motivo per cui
la derivata totale differisce dalla derivata parziale e' il moto
intrinseco degli stati per effetto dell'equazione di Schroedinger.
Nella rappresentazione di Heisenberg questa dipendenza dal
tempo entra solo nella dipendenza dal tempo dell'operatore di
evoluzione temporale.
L'esempio che ti ho proposto puo' essere pensato piu' generale:
per esempio si puo' pensare un caso in cui entri in gioco una
funzione f(a1,a2,...an,t) di operatori indipendenti dal tempo e che
non commutano fra loro e si puo' pensare che anche l'operatore
A sia una funzione A(a1,a2,....an,t). La dimostrazione dell'affermazione
che la derivata parziale e' indistinguibile dalla derivata totale si
ottiene considerando l'espressione esplicita dell'operatore di
evoluzione temporale per questo caso. Questo richiede un tool
che va sotto il nome di T-esponenziale. Ed il risultato e' quello di
ottenere in un modo un poco piu' esplicito l'equazione di
Heisenberg ed in particolare l'identita' fra la derivata totale
di U(t,t0) rispetto a t e la derivata parziale dello stesso.Tutta la
teoria dei campi quantistici tradizionalmente non considera
altro che questo genere di costrutti di base con il tempo che
svolge la funzione di un parametro.
> Mi pu� consigliare un buon libro di Algebra degli operatori?
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Received on Sat Feb 26 2005 - 22:32:26 CET