Re: Matrici che commutano e conservazioni varie...

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 21 Feb 2005 21:23:18 +0100

Piercarlo ha scritto:
> Qui chiedo un chiarimento: quello che avevo sentito � che con le
> matrici fossero rappresentabili qualunque genere di tensori, in quanto
> questi non sarebbero altro che la generalizzazione dei vettori a un
> numero di componenti qualsiasi. Da quanto dici sopra forse non � cos�,
> nel senso che i tensori non sarebbero solo "vettori con gli steroidi"
> ma anche altro. Tu o altri mi potete chiarire questo punto?
Non mi e' chiaro quel
"non sarebbero altro che la generalizzazione dei vettori a un numero
di componenti qualsiasi".
O meglio: se ho capito bene, non e' vero.

Tu puoi generalizzare i vettori a numero di componenti (ossia a
dimensione dello spazio vettoriale) qualsiasi, ma rstano sempre
vettori.
Poi introduci i tensori, come operatori lineari da vettore a vettore
(e questi sono i tensori di rango due).
Dopo di che, puoi generalizzare all'infinito...
I tensori di rango 2 sono rappresentabili con matrici.

> Aprofitto per chiedere un chiarimento sul significato esatto (in
> matematica) del termine "operatore". Da quel che ci ho capito si
> intende un qualsiasi ente (non necessariamente semplice) in grado di
> compiere una trasformazione qualsiasi su altri enti o grandezze. Una
> specie di "macchina numerica" insomma (non so se "operatore" vada
> inteso come sinonimo di "funzione": chiedo lumi). Lo chiedo anche
> incuriosito da una discussione con un amico in cui mi diceva che la
> formula della quantit� moto (massa x velocit�) in meccanica
> quantistica � appunto un "operatore". Qualcosa un pelino meno semplice
> insomma... Anche qui chiedo lumi.
Nella matematica di oggi il termine "funzione" include tutto, in quanto
sta a significare un'applicazione qualsiasi da un insieme qualsiasi in
un altro qualsiasi :)
In origine aveva un significato piu' ristretto: era un'applicazione R
--> R oppure C --> C, poi magari R^n --> R...

Poi sono nati gli spazi di funzioni, che hanno dato luogo ad altri
due oggetti: i funzionali e gli operatori.
Il nome funzionale e' usato per un'applicazione da uno spazio di
funzioni a un numero (reale o complesso).
Esempio banale: l'integrale da a a b di una funzione e' un funzionale.

Operatore e' un'applicazione da uno spazio di funzioni a un altro (o
anche allo stesso spazio).
Esempio banale: la derivata.
Meno banale: la trasformata di Fourier.

E' vero che in m.q. la q. di moto e' un operatore, ma non soltanto lei:
anche l'energia, il momento angolare, e tutto quello che ti puo'
venire in mente.
Sono tutti oggetti che agiscono sulle funzioni d'onda.
La q. di moto e' molto semplice, perche' e' insostanza una derivata...

Nota: tutti gli esempi che ho fatto sono operatori _lineari_, ma
ovviamente niente vieta di pensare anche a operatori non lineari.

> Solo per curiosit�: oltre al tempo rispetto a quali altre grandezze
> esistono quantit� che si conservano? E anche qui si riscontra, se vi
> sono matrici, lo stesso comportamento?
Risposta affermativa: invece di studiare l'evoluzione temporale diun
sistema, puoi essere interessato a sapere che cosa succede se fai una
rotazione.

Nel primo caso, le grandezze che si conservano (costanti del moto)
sono quelle che commutano con H (hamiltoniana).
Nel secondo, le grandezze che restano invariate per qualsisi rotazione
sono quelle che commutano con tutte e tre le componenti del momento
angolare.
S'intende che dicendo "grandezze" e "componenti" ho sempre inteso che
si tratta di operatori (o matrici).

"Pino G." ha scritto:
> Approfitto per chiedere un chiarimento. Ho letto in vari libri che il
> momento angolare totale di un atomo J=L+S � una costante del moto
> mentre non lo sono i momenti angolari orbitale e di spin L ed S. Ho
> anche letto che questi vettori sarebbero animati di moto precessionale
> intorno a J.
Rispondo in un colpo solo a tutti e due, perche' - come vedrete - c'e'
stretta relazione...

Di quello che hai scritto, alcune cose sono giuste se siprecisano le
ipotesi; altre non lo sono.
Ma una cosa e' certa: la domanda e' banale solo se uno sa _bene_ la
mecc. quantistica...
E il problema e' come rispondere in breve.

In generale L e S in un atomo (intesi come momento angolare orbitale
di tutti gli elettroni, e corrisp. mom. amgolare di spin) non sono
costanti del moto, perche' esistono le interazioni "spin-orbita",
dovuta al momento magnetico di spin degli elettroni.

Quindi e' vero: J e' costante, L e S separatamente no.

La storia della precessione e' alquanto piu' complicata, perche'
mescola certe approssimazioni, non sempre valide, e un certo modello
per descrivere quello che succede.
Debbo dire che purtroppo e' molto raro che i testi di m.q. chiariscano
bene queste cose...

La prima cosa da dire e' che negli atomi leggeri l'interazione
spin-orbita puo' essere scritta semplicemente come un prodotto scalare
(L.S) (per un fattore che commuta con tutti i momenti angolari).
Questo si chiama l'accoppiamento di Russel-Saunders.

In tale ipotesi, si verifica che i moduli di L e S sono costanti del
moto, e cosi' anche i prodotti scalari (L.J), (S.J).
Allora se ti fai un modello geometrico (il cosiddetto "modello
vettoriale") di quello che succede, vedrai che L e S, si muovono
conservando lunghezza costante e angolo costante con J: ecco la
precessione.

> Ora, a me risulta che in uno stato stazionario e' determinato il
> valore di aspettazione Lz di L lungo una direzione z arbitraria ma
> sono del tutto indeterminati i componenti Lx e Ly e sono nulle le loro
> medie.
> Di conseguenza la direzione della media di L coincide con la direzione
> z. Come puo' allora il vettore Lz precedere intorno alla direzione z?
La prima cosa che dici non e' vera: sarebbe vera se L (vettore) fosse
una costante del moto.
Quindi quello che hai scritto potresti dirlo per J, non per L.

Ma in realta' come l'hai detto non va bene comunque...
Se J e' una costante del moto, gli stati stazionari sono autostati del
modulo di J, e sono degeneri (uguale autovalore di H) con grado di
degenrazione 2j+1.
Tra questi stati degeneri ne puoi prendere 2j+1 per formare una base
ortonormale, e poi prendere per es. gli autostati di Jz.
Nota bene: _puoi_, non _devi_.
Se fai cosi', allora su quegli stati J e Jz hanno valori determinati,
mentre le altre componenti di J no.
                                          

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Feb 21 2005 - 21:23:18 CET