Re: Matrici che commutano e conservazioni varie...

From: Piercarlo <piercarloboletti_at_tiscali.it>
Date: Sun, 20 Feb 2005 12:13:47 GMT

Alessandro <bellino24_at_virgilio.it> wrote:

> Ciao,
> il discorso � un pochettino complicato ma ci provo ugualmente.

Grazie! :-)

> In Meccanica Quantistica le osservabili fisiche (posizione, energia ecc.)
> vengono ricate come valore di aspettazione di un operatore (operatore
> posizione, operatore energia ecc.).
> Si usa solitamente questo tipo di notazione (notazione di Dirac) per
> esprimere il concetto soprastante:
>
> <X> = <psi|X|psi>
>
> <X> = valore di aspettazione dell'ossservabile posizione
>
> <psi|X|psi> = Integrale di (psi)*X(psi)
>
> dove
> psi � la funzione d'onda del sistema,
> psi* � la sua complessa coniugata
> X � l'operatore relativo alla posizione
>
> Gli operatori hanno una corrispondenza biunivoca con i tensori. I tensori
> di rango II sono appunto delle matrici, ed infatti tu hai parlato proprio
> di matrici.

Qui chiedo un chiarimento: quello che avevo sentito � che con le matrici
fossero rappresentabili qualunque genere di tensori, in quanto questi
non sarebbero altro che la generalizzazione dei vettori a un numero di
componenti qualsiasi. Da quanto dici sopra forse non � cos�, nel senso
che i tensori non sarebbero solo "vettori con gli steroidi" ma anche
altro. Tu o altri mi potete chiarire questo punto?

> Facciamo conto di disporre di un operatore A indipendente dal tempo. Tale
> operatore dar� come risultato di integrazione il valore di aspettazione
> <A>. Tale valore di aspettazione pu� dipendere o non dipendere dal tempo
> (anche se l'operatore non dipende dal tempo non � detto che l'osservabile
> che produce come valore di aspettazione non dipenda dal tempo).
>
> <A> = <psi|A|psi>
> d<A>/dt = d(<psi|A|psi>)/dt=
> =<d(psi)/dt|A|psi>+<psi|d(A)/dt|psi>+<psi|A|(d(psi)/dt)>
>
> Il termine <psi|d(A)/dt|(psi)>=0
> perch� avevamo detto all'inizio che l'operatore A non dipende dal tempo
>
> l'equazione di schrodinger �:
>
> ih'[d(psi)/dt]=H(psi)
>
> dove:
> h'= h tagliato = h/2pi
> H=operatore relativo all'osservabile energia (si chiama operatore
> Hamiltoniano)
> i=vediti un p� i numeri complessi

Sono complessi! :-) Aprofitto per chiedere un chiarimento sul
significato esatto (in matematica) del termine "operatore". Da quel che
ci ho capito si intende un qualsiasi ente (non necessariamente semplice)
in grado di compiere una trasformazione qualsiasi su altri enti o
grandezze. Una specie di "macchina numerica" insomma (non so se
"operatore" vada inteso come sinonimo di "funzione": chiedo lumi). Lo
chiedo anche incuriosito da una discussione con un amico in cui mi
diceva che la formula della quantit� moto (massa x velocit�) in
meccanica quantistica � appunto un "operatore". Qualcosa un pelino meno
semplice insomma... Anche qui chiedo lumi.

> dall'equazione di Schrodinger ho la seguente espressione:
>
> [d(psi)/dt]=H(psi)/(ih')
>
> che vado a sostituire in d<A>/dt ottenendo:
>
> d<A>/dt=[<psi|(A)(H)|psi>]/(ih')-[<psi|(H)(A)|psi>]/(ih')
>
> moltiplica denominatore e numeratore per i ed ottieni:
>
> d<A>/dt=(i/h')[<psi|(H)(A)-(A)(H)|psi>]
>
> (H)(A)-(A)(H)=[H,A]<--commutatore di H e A
>
> d<A>/dt=(i/h')[<psi|[H,A]|psi>]
>
> Se [H,A]=0 si dice che i due operatori commutano.
> Se guardi bene l'espressione scritta sopra ti potrai accorgere che se i due
> operatori commutano d<A>/dt=0
> In caso di commutazione quindi, il valore di aspettazione dell'osservabile
> � indipendente dal tempo.
> Un osservabile fisica che ha l'operatore che commuta con l'energia del
> sistema (l'operatore H) fornisce un valore di aspettazione che �
> indipendente dal tempo, e quando ci� accade si dice che <A> � una costante
> del moto e quindi si conserva nel tempo.

Riassumendo: si pu� dire che la presenza di matrici che commutano sia
sinonimo di presenza di un invariante rispetto a qualcosa? - Tu mi hai
fatto l'esempio di una costante del moto invariante rispetto al tempo.
Solo per curiosit�: oltre al tempo rispetto a quali altre grandezze
esistono quantit� che si conservano? E anche qui si riscontra, se vi
sono matrici, lo stesso comportamento?


> Ciao

Ciao e grazie!
Piercarlo
Received on Sun Feb 20 2005 - 13:13:47 CET