In data Fri, 18 Feb 2005 09:54:48 +0100, Piercarlo ha scritto:
> Ciao a tutti!
>
> Chiacchierando sono venuto a sapere che le matrici che commutano
> tra loro in fisica sono legate alla conservazione di qualcosa (energia o
> altro).
>
> Qualcuno mi pu� dire qualcosa di pi� esteso? La cosa mi intrippa
> assai...
>
> Ciao!
> Piercarlo
Ciao,
il discorso � un pochettino complicato ma ci provo ugualmente.
In Meccanica Quantistica le osservabili fisiche (posizione, energia ecc.)
vengono ricate come valore di aspettazione di un operatore (operatore
posizione, operatore energia ecc.).
Si usa solitamente questo tipo di notazione (notazione di Dirac) per
esprimere il concetto soprastante:
<X> = <psi|X|psi>
<X> = valore di aspettazione dell'ossservabile posizione
<psi|X|psi> = Integrale di (psi)*X(psi)
dove
psi � la funzione d'onda del sistema,
psi* � la sua complessa coniugata
X � l'operatore relativo alla posizione
Gli operatori hanno una corrispondenza biunivoca con i tensori. I tensori
di rango II sono appunto delle matrici, ed infatti tu hai parlato proprio
di matrici.
Facciamo conto di disporre di un operatore A indipendente dal tempo. Tale
operatore dar� come risultato di integrazione il valore di aspettazione
<A>. Tale valore di aspettazione pu� dipendere o non dipendere dal tempo
(anche se l'operatore non dipende dal tempo non � detto che l'osservabile
che produce come valore di aspettazione non dipenda dal tempo).
<A> = <psi|A|psi>
d<A>/dt = d(<psi|A|psi>)/dt=
=<d(psi)/dt|A|psi>+<psi|d(A)/dt|psi>+<psi|A|(d(psi)/dt)>
Il termine <psi|d(A)/dt|(psi)>=0
perch� avevamo detto all'inizio che l'operatore A non dipende dal tempo
l'equazione di schrodinger �:
ih'[d(psi)/dt]=H(psi)
dove:
h'= h tagliato = h/2pi
H=operatore relativo all'osservabile energia (si chiama operatore
Hamiltoniano)
i=vediti un p� i numeri complessi
dall'equazione di Schrodinger ho la seguente espressione:
[d(psi)/dt]=H(psi)/(ih')
che vado a sostituire in d<A>/dt ottenendo:
d<A>/dt=[<psi|(A)(H)|psi>]/(ih')-[<psi|(H)(A)|psi>]/(ih')
moltiplica denominatore e numeratore per i ed ottieni:
d<A>/dt=(i/h')[<psi|(H)(A)-(A)(H)|psi>]
(H)(A)-(A)(H)=[H,A]<--commutatore di H e A
d<A>/dt=(i/h')[<psi|[H,A]|psi>]
Se [H,A]=0 si dice che i due operatori commutano.
Se guardi bene l'espressione scritta sopra ti potrai accorgere che se i due
operatori commutano d<A>/dt=0
In caso di commutazione quindi, il valore di aspettazione dell'osservabile
� indipendente dal tempo.
Un osservabile fisica che ha l'operatore che commuta con l'energia del
sistema (l'operatore H) fornisce un valore di aspettazione che �
indipendente dal tempo, e quando ci� accade si dice che <A> � una costante
del moto e quindi si conserva nel tempo.
Ciao
Received on Sat Feb 19 2005 - 13:41:37 CET