Il 10 Feb 2005, 11:54, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
> Ho cercato di leggere rapidamente la definizione di Streater
> di prodotto tensoriale infinito sull'articolo citato da Elio.
> Non ci ho riflettuto molto, perche' non ho tempo, ma quella
> definizione, cosi' come e' scritta e' per lo meno incompleta.
> Non e' per nulla ovvio come definire le combinazioni lineari
> di elementi dello spazio prodotto tensoriale infinito!
> Sembra intuire, da quanto si legge, che la somma di due sequenze
> infinita, che per la definizione data dovrebbe dare
> ancora una sequenza infinita, sia quella termine a termine.
> Se e' cosi' non funziona: non si riduce al prodotto tensoriale
> solito quando i fattori sono finiti, ma si riduce alla somma
> diretta che e' tutt'altra cosa!!! Manca questa definizione.
Se fosse come dici allora avresti un'assurdo in piu':
cioe' potresti definire il multiplo di un vettore dello spazio
come il vettore in cui ogni componente e' moltiplicata per
la stessa costante. Allora e' evidente che non avresti definito
una norma moltiplicando le norme delle singole componenti.
Potrebbe funzionare se considerassi una definizione di media
geometrica. Ancora funzionerebbe se considerassi solo vettori
normalizzati. Quel di cui non mi sono ancora completamente
convinto, vista anche la vostra esitazione, e' se sono equivalenti.
Passando per i logaritmi si puo' dar un significato alla convergenza,
questo ricorrendo alla nozione di convergenza assoluta per le
serie. In caso contrario se non ci fosse il teorema di riordinabilita'
il prodotto potrebbe essere definito in modo non univoco.
Ora a me sembra che si possono considerare anche altre nozioni
di prodotto.
L'ultimo punto su cui mi trovo in difficolta' e' quello che dice Elio:
i vettori con numero finito di componenti non nulle formano un insieme
numerabile. Questo e' vero, come lo sono i numeri razionali. Il
punto e' che questi vettori sembrano essere densi nello spazio
costruito. Questo si verifica anche quando si passa dalle funzioni
qualsiasi alle funzioni continue. Pero' in questo caso e' piu' strano
Infatti adottando la definizione di media geometrica, ad esempio, si
ha una nozione di norma a prima vista piu' debole di quella che vincola
alla restrizione proiettiva. Il problema che puo' essere formidabile
e' capire che vincoli impone la convergenza della media geometrica.
Si possono infatti costruire funzioni monotone crescenti e senza
asintoto con media geometrica limitata? Questo no. Pero' si possono
costruire funzioni che opportunamente riordinate possono mostrare
media divergente. E' sufficiente mescolare la sequenza degli interi
con una funzione costante e mettere gli interi solo sporadicamente.
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Received on Sat Feb 12 2005 - 21:11:11 CET