Il 10 Feb 2005, 21:55, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Michele Andreoli ha scritto:
> > E' la parte reale della funzione di variabile complessa del tipo:
> >
> > F(z)=A*Sqrt[(z-a)(z+a)+B*z
> >
> > vero?
> Non proprio.
> La funzione e' A*z/sqrt[(z-a)(z+a)] + B*z.
Non vi capisco. Con che criterio e' ottenuta questa funzione?
Filo carico: 1/z. Due fili [1/(z-1)] - [1/(z+1)] = 2/(z^2-1).
Poi osservo che la funzione i sqrt(z^2-1) e' pure olomorfa
ed ha il giusto comportamento asintotico. Infatti la sua
parte immaginaria e' nulla in (-1,1) ed all'infinito si
comporta come z.
La funzione che
ha proposto Elio somiglierebbe piu' all'inverso della
radice dei due fili carichi sovrapposta con un campo lineare,
se non fosse per il fatto che e' moltiplicata per z. Ha il comportamento
corretto ad infinito, ma e' relativamente semplice accorgersi che
la sua parte immaginaria non si annulla in (-a,a)
La funzione che trovo io alla fine di questa
lettera e' un poco differente e non mi riesce di ricondurla a
nessuna delle espressioni che avete scritto voi.
Trovo piuttosto che ha la forma Az + B sqrt[(z/a)^2-1]
dove pero' A = 0 e B = i*a*E. Quindi semplicemente
Im( i*E sqrt[(z^2-a^2)]) = Im ( E sqrt(a^2 - z^2)).
> Questa funzione ha un taglio tra -a e +a, e quella che ho scritto e'
> il valore della parte immaginaria (che e' discontinua al taglio).
>
> Pero' riguardando i conti c'e' qualcosa che non mi torna; forse ho
> fatto un errore, ma ora non ho tempo per controllare.
>
> > Sui libri e' spesso trattato il caso dell'ellissoide di rotazione
> > immerso in un campo esterno uniforme. Ad occhio e croce, si dovrebbe
> > ottenere il campo della piastra tra (-a,a) mandando a zero uno dei
> > semiassi, e ad infinito l'altro.
> Scusa ma non capisco come si fa a ottenere questo da un ellissoide di
> rotazione...
Non so se e' quel che intende Michele, pero' si puo' in due passi.
Prima si porta l'ellissoide di rotazione ad un cilindro. Poi si porta
l'esterno della sezione circolare del cilindro su una falda della
superfice di Riemann della trasformazione conforme z+sqrt(z^2-1),
e questo porta il cilindro su un'ellissoide degenere a forma di
striscia.
Pero' non mi ricordo se esistono libri che trattano il caso di un
ellissoide di rotazione immerso in un campo ortogonale all'asse
di simmetria. Landau dice che si puo' risolvere impostando il
problema in coordinate ellissoidali ma non mi sono cimentato e
lui non lo fa, in tal caso se si ottiene la soluzione generale
per un ellissoide qualunque non c'e' bisogno di passare per le
trasformazioni conformi. Tuttavia il caso di un cilindro e' un cimento
classico nei libri di aerodinamica come primo passo per poi ottenere
il campo fluido associato con uno speciale profilo alare mediante
la trasformazione di Joukowsky. Quella che si considera e' una particolare
trasformazione di Joukowsky che applica il cilindro su un profilo alare
degenere, ovvero una striscia.
Il metodo che ho seguito io e' riapplicare questo metodo al
caso particolare e tentare di arguirlo nel caso particolare senza
ricorrere alla notorieta' di Joukowsky. O meglio ho studiato
il suo riadattamento al caso del potenziale che e'
quello che interessa qui, infatti il caso fluido-dinamico e'
semplicemente il duale di questo problema che descrivo.
Spero abbiate la pazienza di leggere per capire se e' giusto.
Considero per iniziare una proprieta' geometrica nota come
inversione w = z + 1/z che applica la circonferenza unitaria nella
retta (si trova sul Courant Robbins, che possiamo considerare
una lettura fondante per tutti quelli che iniziano una disciplina
scientifica). Perche' applica la circonferenza nella retta? Perche'
l'inverso di un numero unitario di eulero: exp(i a) corrisponde
al suo coniugato.
Per lo stesso motivo la parte immaginaria di questa funzione w(z)
e' zero. D'altra parte w(z) e' analitica quindi la sua parte immaginaria
e' olomorfa e non e' costante. Quando z tende ad infinito fornisce
il limite z la cui parte immaginaria e' Im(z). A noi fa comodo pero'
allineare il campo con l'asse x. A questo scopo consideriamo
i(z-1/z). In questa funzione nuovamente l'immagine dei numeri
complessi unitari sta sulla retta reale, ma la componente immaginaria
e' asintoticamente pari a Re(z).
Se invertiamo la trasformazione z + 1/z otteniamo una funzione
z(w) = (w/2) + [(w/2)^2-1]^(1/2) che ha una superfice di Riemann
costituita di due fogli. L'immagine dei valori sul segmento (-2,2)
nel piano di Argand e' ora il semicerchio nel semipiano superiore
per la prima delle determinazioni della radice e nel semipiano
inferiore per la seconda delle determinazioni della radice. Se le
due falde della superfice di Riemann sono proiettate sul piano
complesso ed incollate lungo (-2,2) quel che si verifica e' che
selezionando una delle due falde allora sopra il segmento (-2,2)
la funzione z(w) acquista i valori di una deteminazione e sotto il
segmento i valori dell'altra, in accordo con il comportamento
dell'argomento di (w/2)^2-1 che varia di 2pi per effetto di una
rotazione di w intorno ai punti w = 2 e w=(-2).
Per |w| -> oo si ha z(w) -> w. Ora sostituiamo z(w) in
i(z-1/z) .
I) Questa e' una funzione olomorfa sulla superfice di
Riemann di z(w) e dunque anche sulla sua restrizione al
foglio selezionato, eccetto nei punti in cui questo foglio
viene incollato all'altro.
II) Questa funzione ha parte immaginaria costante nei punti
contro-immagine della circonferenza, ovvero sui due lati
del segmento (-2,2).
III) Questa funzione ha comportamento asintotico i w, la cui
parte immaginaria e' la parte reale di w.
IV) Se utilizziamo le variabili z/k e w/k in luogo delle variabi
z e w otteniamo un percorso isomorfo a quello seguito fino
a questo punto.
V) Ecco la soluzione del problema: il potenziale nel punto (x,y) vale
u(x,y) = Im[ (i/2) a*E {(2w/a)-2/(w/a + [(w/a)^2-1]^(1/2))} dove w = x + i y
Ottenuta imponendo la condizione asintotica a*E lungo x. Dopo un
poco di algebra si ottiene: Im {-i*E*[w^2 - a^2)]^(1/2)}
VI) Occorre dunque valutare Im {-i*E*[w^2 - a^2)]^(1/2)}. In coordinate
cartesiane risulta che il modulo dell'argomento della radice e'
[(xx+yy-aa)^2 + 4xxyy] mentre l'argomento e' Arg (xx+yy-aa, 2xy)
nei pressi della striscia risulta dunque un argomento pari a
pi - atan [2xy/(aa-xx-yy)]. La radice quadrata ha allora una
parte reale che possiamo approssimare con sen (xy/(aa-xx-yy))
Il potenziale nei pressi della striscia risulta a conti fatti prossimo
ad Exy/sqrt(aa-xx-yy)]. In modo che la densita' di carica e' pari
ad E x / sqrt(aa-xx)
VII)In accordo al punto VI e VII ed alla parita' per cambiamento nel segno
di x
risulta che il potenziale u(x,y) ha due piani di "simmetria" uno
propriamente
detto, ovvero il piano x,z e l'altro tale che la riflessione implica
cambiamento
di segno. Cioe' il piano y,z. Le linee equipotenziali risultano di difficile
elaborazione.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Feb 12 2005 - 18:30:31 CET