Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Paolo <paolo.avogadro_at_gmail.com>
Date: 10 Feb 2005 01:55:07 -0800

Ciao


>
> Come forse ho gia' detto, mistavo ispirando a dei miei vecchi appunti,
> di un corso che teeni al Perfezionamento in Normale nel 66-67.
> Siccome su questo punto quelgi appunti erano molto ellittici, mi sono
> rifatto alla fonte, che era un preprint di Streater.
> L'articolo e'
> "The Heisenberg Ferromagnet as a Quantum Field Theory"
> Comm. Math. Phys. 6 (1967), 233
> (si trova anche in internet).
>
> Il guaio e' che mica lo capisco...
> Definisce H come ho detto: prodotto tensoriale infinito degli H_i.
>
> Poi dice: gli elementi di H sono rappresentati da successioni f =
> {f_i} con f_i \in H_i, tali che \prod ||f_i||^2 sia convergente.
> Da' l'esatta definizione di convergenza, che forse non e' essenziale.
> Il limite del prodotto infinito e' preso come norma quadrata di f.
> Poi: il prodotto scalare di due vettori f={f_i} e g={g_i} e' definito
> come \prod (f_i,g_i) se il prodotto converge; zero altrimenti.
> Sembra che questa definizione sia di von Neumann (1938).
>

Io non ci avevo fatto caso che il risultato era una produttoria di
infiniti termini!

Se proprio devo essere sincero mentre riguardavo gli appunti di
metodi, proprio vicino alla definizione di spazio separabile c'era
quella di somma diretta di spazi di Hilbert e mi ero messo a vedere se
questo fosse il caso.
 
Qui viene pero' un ulteriore dubbio ben piu' banale: come si definisce
il prodotto per uno scalare? e' sufficiente fare il prodotto per uno
scalare per un vettore su un singolo sito reticolare? k*U=...(x)
k*u_i-1 (x) u_i (x) u_i+1 (x).. (pero' temo sia una definizione un
pochetto ambigua, in qualche modo si deve specificare per quale sito
reticolare va moltiplicato il k )

Se fosse cosi' non sarebbe sufficiente prendere solo i vettori sono
composti in questo modo:
U=...(x) u_i-1 (x) u_i (x) u_i+1 (x)...
Tali che solo un numero finito di u_j ha norma diversa da 1?
In questo modo la produttoria da infiniti termini diventa in pratica
una produttoria di finiti termini moltiplicata per 1^oo (che sebbene
assomigli a una forma di indeterminazione non lo e' in quanto non ho
f(x)-->1 g(x)-->oo e f(x)^g(x) ma "esattamente" 1^oo e mi pare possa
essere definito senza ambiguita' come 1^oo=1).
Con una definizione del genere (ammesso che sia sensata) il tentativo
di prova che avevo fatto per dimostrare che E non e' limitato sembra
andare abbastanza bene.

ciao
  Paolo
Received on Thu Feb 10 2005 - 10:55:07 CET