Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Wed, 09 Feb 2005 21:45:46 +0100

Valter Moretti ha scritto:
> .... non dirmi che non ti aspettavi che intervenissi sui tuo post
> :-)
Veramente, contavo sul fatto che tu fossi molto occupato :-)))

> Ho alcune osservazioni/domanda da fare.
E te pareve! (si dice a Roma).
Scherzi a parte, felice di leggerle, a parte una risreva che ti dico
dopo.

> Ho capito la sostanza formalmente ma ho ben capito i dettagli.
> 1) Che problema ci sarebbe se lo spazio del sistema non fosse
> separabile Se fossimo con un numero finito di gradi di liberta', OK
> salterebbe il teorema di Stone-von Neumann sull'unicita' della
> rappresentazione delle CAR. Ma ora siamo gia' con una quantita'
> infinita di gradi di liberta' dove sappiamo che il teorema suddetto
> non funziona in ogni caso, a che cosa serve allora la richiesta di
> separabilita'?
Se e' per questo, c'e' un'obiezione ancora piu' forte: qui la
variabili canoniche non ci sono, quindi quel teorema non c'entra
proprio.
Ho paura che dovro' ritornare sulla questione, peche' temo che la
gisutificazione del requisito di separabilita' sia piu' complicata )v.
anche fra poco).

> 2) Poi non ho proprio capito cosa sia un prodotto tensoriale di
> infiniti spazi di Hilbert, in particolare come dare ad esso una
> struttura di spazio di Hilbert.
Qui do la parola a Tetis, il quale pero' - al solito - si esprime in
modo ermetico...

Tetis:
> H come spazio topologico non e' separabile. Pero' per dire che la base
> dello spazio vettoriale non e' numerabile mi sembra di inciampare in
> un salto logico. Direi che se la base della topologia di uno spazio
> topologico e' numerabile questo e' separabile, inoltre, ma questo
> importa nel contesto hilbertiano, non ancora adesso, se e' metrico
> separabile allora ha base numerabile. Dunque se lo spazio topologico
> non e' separabile la sua topologia non puo' essere numerabile. In piu'
> vale la caratterizzazione che uno spazio separabile ha un sottoinsieme
> denso numerabile. Questo e' smentito dal fatto che la base e' un
> sottoinsieme e non e' numerabile.
Non ho capito che cosa accetti, che cosa confuti, che cosa cerchi...
Credo di sapere che uno spazio con prodotto scalare (non nec.
completo) e' separabile se e solo se ha una base (nel senso degli
spazi vettoriali) numerabile.
Il punto debole del discorso e' percio': come si definisce il prodotto
scalare?

> Questo prodotto scalare e' l'ordinario prodotto hermitiano componente
> per componente.
Non ho capito che cosa intendi, ma tanto poi lo sconfessi :)

> Intanto il prodotto scalare che avevo suggerito nella e-mail di ieri
> non e' giusto. Infatti avevo suggerito il prodotto scalare componente
> per componente delle sequenze bilatere. Questo induce una struttura
> che non ha nulla a che vedere con quel che serve. Forse occorre la
> struttura di prodotto scalare dello spazio di Fock ovvero considero
> ortogonali due allineamenti che hanno almeno una componente differente
> ed unitario ciascuno di questi vettori. In questo modo la soluzione
> che avevo scritto per questo esercizio e' corretta.
E' quello che avevo creduto anch'io, ma non funziona, e penso che
questo intendesse Valter.

A questo punto faccio meglio ascoprire le carte (ma chi me l'ha
fatta fare di mettermi in questo ginepraio...)

Come forse ho gia' detto, mistavo ispirando a dei miei vecchi appunti,
di un corso che teeni al Perfezionamento in Normale nel 66-67.
Siccome su questo punto quelgi appunti erano molto ellittici, mi sono
rifatto alla fonte, che era un preprint di Streater.
L'articolo e'
"The Heisenberg Ferromagnet as a Quantum Field Theory"
Comm. Math. Phys. 6 (1967), 233
(si trova anche in internet).

Il guaio e' che mica lo capisco...
Definisce H come ho detto: prodotto tensoriale infinito degli H_i.

Poi dice: gli elementi di H sono rappresentati da successioni f =
{f_i} con f_i \in H_i, tali che \prod ||f_i||^2 sia convergente.
Da' l'esatta definizione di convergenza, che forse non e' essenziale.
Il limite del prodotto infinito e' preso come norma quadrata di f.
Poi: il prodotto scalare di due vettori f={f_i} e g={g_i} e' definito
come \prod (f_i,g_i) se il prodotto converge; zero altrimenti.
Sembra che questa definizione sia di von Neumann (1938).

Ma io non ho capito! :-(
A partire dalla definizione del prodotto tensoriale...

Valter:
> Passo all'altro post.
> Credo che tu intenda "il completamento" piu' che "la chiusura"...
Certo. E' un errore che faccio spesso: che ci sara' sotto?

> Questo e' un punto molto delicato e dipende dal livello in cui ti
> poni.
> Prima ho intravisto una C*-algebra. Uno potrebbe mettersi (e credevo
> che tu stessi per farlo) ad un livello del tutto astratto e dire che
> le osservabili sono elementi di una C*-algebra astratta senza fare
> riferimento ad uno spazio di Hilbert e poi lavorare nel formalismo
> algebrico.
Vero, ma qui stai anticipando cose che volevo dire dopo.
O meglio, che pensavo di poter dire dopo. La rilettura del lavoro di
Streater mi ha fatto venire l'atroce dubbio che non sia possibile.

Se e cosi', tutta la linea didattica per la quale mi sempbrava utile
proporre questo modello va a farsi benedire.
Debbo pensarci...
                                         

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Feb 09 2005 - 21:45:46 CET