Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Tue, 08 Feb 2005 10:01:15 +0100

Ciao,

... non dirmi che non ti aspettavi che intervenissi sui tuo post :-)
Ho alcune osservazioni/domanda da fare.

Elio Fabri wrote:

> Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H di
> tutti questi H_i, che non e' separabile.
> Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
> E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
> 1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
> come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.

Ho capito la sostanza formalmente ma ho ben capito i dettagli.
1) Che problema ci sarebbe se lo spazio del sistema non fosse separabile
Se fossimo con un numero finito di gradi di liberta', OK salterebbe il
teorema di Stone-von Neumann sull'unicita' della rappresentazione delle
CAR. Ma ora siamo gia' con una quantita' infinita di gradi di liberta'
dove sappiamo che il teorema suddetto non funziona in ogni caso, a che
cosa serve allora la richiesta di separabilita'?
2) Poi non ho proprio capito cosa sia un prodotto tensoriale
di infiniti spazi di Hilbert, in particolare come dare ad esso una struttura
di spazio di Hilbert.

Passo all'altro post.


> Ora bisognerebbe definire l'algebra A delle osservabili per l'intero
> sistema. Come primo passo, si puo' pensare all'unione di tutte le
> algebre locali; chiamiamola A_{loc}.
> Questa pero' non e' soddisfacente dal punto di vista topologico,
> perche' non e' chiusa nella topologia indotta dalla norma delle A_F.
> Ma di nuovo, nessun problema: basta prenderne la chiusura: la
> chiamero' semplicemente A.
>

Credo che tu intenda "il completamento" piu' che "la chiusura"...

> A ha tutte le proprieta' che si possono desiderare: e' un'algebra di
> Banach per costruzione, e' anzi una C^*-algebra. Ma per ora almeno non
> faremo uso di questa proprieta' e quindi non mi preoccupo di darne
> una definizione.

In realta', anche se non capisco del tutto dove vuoi andare finire
ma credo che sara' chiaro tra poco, e' possibile che basti una struttura
di *-algebra (anche se bisogna vedere in dettaglio)

>
> Mi limito solo a osservare che per costruzione A consiste di operatori
> definiti sullo spazio di Hilbert H' (quello separabile) e per di piu'
> di operatori _limitati.
> Ci si puo' chiedere se li contiene tutti: la risposta e' _no_, ma non
> e' banale arrivarci...
> Allora ci si puo' chiedere perche' limitarsi ad A, e non ammettere
> come algebra delle osservabili semplicemente quella di *tutti* gli
> operatori limitati su H'.
>
> Per la risposta dovrai aspettare la prossima puntata...
>
> Intanto un'osservazione: il fatto che A contiene solo operatori
> limitati puo' apparire un'eccessiva restrizione, visto che cosi' si
> esclude addirittura l'hamiltoniana E.
> Ma in realta' non c'e' da preoccuparsene, perche' se in A non ci sta
> E, ci stanno pero' tutti gli operatori unitari T(t)=exp(iEt) per ogni
> t reale, ossia le traslazioni temporali.
> Il che basta, da un lato perche' le traslazioni temporali determinano
> l'evoluzione nel tempo del sistema, ma anche da un punto di vista
> matematico, perche' il teorema di Stone ci dice che la conoscenza dei
> T(t) determina H.
>

Questo e' un punto molto delicato e dipende dal livello in cui ti poni.
Prima ho intravisto una C*-algebra. Uno potrebbe mettersi (e credevo
che tu stessi per farlo) ad un livello del tutto astratto e dire che
le osservabili sono elementi di una C*-algebra astratta senza fare
riferimento ad uno spazio di Hilbert e poi lavorare nel formalismo algebrico.
Pero' a questo livello quello che dici sopra sul teorema di Stone non sarebbe
utile perche' il teorema di Stone vale nella topologia forte e non in quella
uniforme. In altre parole, per recuperare nell'algebra anche le cariche (e
mi pare questo il punto) della teoria, cioe' gli operatori che generano i gruppi
ad un parametro devi prima fissare uno stato e fare la ricostruzione GNS.
Alternativamente, se le cariche le vuoi da subito come elementi dell'algebra
astratta, non puoi lavorare con una C*-algebra, dato che in generale
non sono, quando rappresentate in spazi di Hilbert, operatori limitati.


Ciao, Valter


> Fine della seconda puntata.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Feb 08 2005 - 10:01:15 CET