Il 26 Gen 2005, 12:51, nospam_at_no_spam.com (Aleph) ha scritto:
> Valter Moretti ha scritto:
>
> > Aleph wrote:
>
> ...
> > 7> Ti chiedo quindi, se ti � possibile, di postare la forma esplicita
della
> > 8> densit� di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
> > 9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
> > 1> per r > R.
>
> ...
> > A parte gli scherzi ecco qui:
>
> > La densita' di massa in coordinate polari e':
>
> > f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
> ...
>
> S�, ma non hai ancora specificato la forma esplicita di q(r) e,
> soprattutto, di g(r).
> Era questo quello che chiedevo.
Un esempio puoi costruirlo tu stesso: considera Sen[r] in 0,pi
ed A Sen[r] in pi, 2 pi. Trovi poi A dalla condizione che r^3
e' crescente ti accorgi che A deve essere un numero minore di
uno che puoi costruire esplicitamente. Ora guarda in faccia
Y_10 e la densita' di carica:
r^2 g(r) sen(theta) cos(theta) d(theta) la carica totale e' nulla
perche' la funzione e' antisimmetrica rispetto al piano nodale x,y
ti accorgi che r sen(theta) e' z ed r cos(theta) e' sqrt(x^2+y^2).
Se maneggi un poco un programma come mathlab prova a
plottarla. Per costruzione la zona interna alla prima sfera nodale
genera un dipolo uguale e contrario al dipolo generato dalla
carica esterna a questa sfera nodale. Tutti gli altri momenti di
multipolo sono nulli per ragioni piu' o meno semplici di intuire
visivamente, osservando che:
2 sen(theta) cos(theta) = sen(2 theta) va integrata di volta in
volta con funzioni che hanno la parita' opportuna o sulla parte
azimutale o sulla parte zenitale. Quanto al
fatto che ti riesca controintuitivo e', penso, per lo stesso motivo
per cui lo e' per me, le armoniche sferiche sono distribuzioni
uniche nel genere delle distribuzioni in piu' le moduli con un
peso radiale calibrato a bella posta. Puoi fare un esempio piu'
semplice ancora considerando due gusci uno in r =1 con
peso g(1) = 1 ed uno in r = 2 con peso g(2) = 1/8. E calcolando
i momenti di dipolo di ciascuno.
> Ci� che mi lascia dei dubbi sull'espressione precedente � che esprime
> una densit� di massa avente simmetria azimutale e mi pare davvero
> difficile che tale simmetria non si trasferisca pari pari nel potenziale
> che essa genera.
Infatti fa di tutto pero' e' compensata esattamente. Puoi vederlo ancora
in un altro modo scegli una distribuzione di carica qualsiasi ma con
simmetria tale da generare il solo dipolo, questa e' un'armonica sferica,
calcola il dipolo poi fai una omotetia. Se conservi la densita' di carica
nell'omotetia (tieni presente che la carica totale e' sempre zero) ottieni
un dipolo aumentato per il fattore di omotetia, quindi riduci la carica
totale
uniformemente per lo stesso fattore e cambiane il segno somma le due
distribuzioni ancora il momento di dipolo e' zero ma la distribuzione no.
> La richiesta che il potenziale generato da una tale densit� di massa abbia
> simmetria sferica per valori di r > R equivale alla richiesta che
> l'integrale di volume seguente sia nullo o abbia almeno simmetria sferica:
>
> INT[0, R] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r| = INT[R/3, R/2] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r|
>
> dove le coordinate d'integrazione si riferiscono a un sistema di
> coordinate polari centrato nel c.m., con l'asse z lungo l'asse di
> simmetria della distribuzione di massa e i vettori Rp (|Rp| > R) e r
> rappresentano rispettivamente il punto P in cui si calcola il potenziale e
> il generico contributo dell sorgente presente in r.
Questo che hai scritto e' solo il primo passo. Il passo seguente e'
sostituire
esplicitamente lo sviluppo in armoniche sferiche di 1/ |Rp-r| e poi
considerare le proprieta' di ortogonalita' ti accorgi che il potenziale
esterno e' caratterizzato in modo univoco proprio dai momenti di
multipolo.
> Ora a me non pare per niente ovvio che esista una g(r) in grado di rendere
> sempre nullo o almeno costante (in maniera consistente con tutte le
> condizioni richieste) tale integrale al variare della posizione del punto
> P lungo la circonferenza di raggio |Rp|.
Ed infatti non e' per niente ovvio, segue dalla teoria che descrive il
potenziale generato dalle distribuzioni di carica.
> Potresti provare a chiarirmi la questione (sempre che non sia troppo lungo
> e impegnativo farlo)?
Spero di non essere stato confuso ed incomprensibile come al solito.
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Received on Wed Jan 26 2005 - 19:19:22 CET