Valter Moretti ha scritto:
> Aleph wrote:
...
> 7> Ti chiedo quindi, se ti � possibile, di postare la forma esplicita della
> 8> densit� di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
> 9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
> 1> per r > R.
...
> A parte gli scherzi ecco qui:
> La densita' di massa in coordinate polari e':
> f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
...
S�, ma non hai ancora specificato la forma esplicita di q(r) e,
soprattutto, di g(r).
Era questo quello che chiedevo.
Ci� che mi lascia dei dubbi sull'espressione precedente � che esprime
una densit� di massa avente simmetria azimutale e mi pare davvero
difficile che tale simmetria non si trasferisca pari pari nel potenziale
che essa genera.
La richiesta che il potenziale generato da una tale densit� di massa abbia
simmetria sferica per valori di r > R equivale alla richiesta che
l'integrale di volume seguente sia nullo o abbia almeno simmetria sferica:
INT[0, R] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r| = INT[R/3, R/2] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r|
dove le coordinate d'integrazione si riferiscono a un sistema di
coordinate polari centrato nel c.m., con l'asse z lungo l'asse di
simmetria della distribuzione di massa e i vettori Rp (|Rp| > R) e r
rappresentano rispettivamente il punto P in cui si calcola il potenziale e
il generico contributo dell sorgente presente in r.
Ora a me non pare per niente ovvio che esista una g(r) in grado di rendere
sempre nullo o almeno costante (in maniera consistente con tutte le
condizioni richieste) tale integrale al variare della posizione del punto
P lungo la circonferenza di raggio |Rp|.
E' per questo che vorrei vedere la forma esplicita della g(r).
...
> Con queste scelte f e' ovunque non negativa come si addice ad una
> densita' di massa e, dall'espasione in multipoli della soluzione
> all'equazione di Poisson (vedi per esempio il Jackson di Elettromagnetismo),
> risulta subito che il campo generato per R>0 ha tutti i momenti nulli
> eccetto che quello di monopolo, per cui il campo ha simmetria sferica.
...
Ho guardato il libro di Jackson ma non riesco a trovare nulla che si possa
applicare "sic et simpliciter" (sicuramente per miei limiti: purtroppo
sono piuttosto arrugginito su questi argomenti) al caso in oggetto.
Intuisco che la chiave di tutto sono le propriet� di ortogonalit� e
completezza delle armoniche sferiche, ma mi manca ancora qualcosa per
"chiudere il cerchio".
Potresti provare a chiarirmi la questione (sempre che non sia troppo lungo
e impegnativo farlo)?
Saluti,
Aleph
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Received on Wed Jan 26 2005 - 12:51:17 CET