Re: Buchi neri e materia

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 26 Jan 2005 19:05:04 +0100

Aleph wrote:

> Valter Moretti ha scritto:
>
>
>> Aleph wrote:
>
>
>
> ...
>
>> 7> Ti chiedo quindi, se ti � possibile, di postare la forma esplicita della
>> 8> densit� di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
>> 9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
>> 1> per r > R.
>
>
>
> ...
>
>> A parte gli scherzi ecco qui:
>
>
>
>> La densita' di massa in coordinate polari e':
>
>
>
>> f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
>
>
> ...
>
> S�, ma non hai ancora specificato la forma esplicita di q(r) e,
> soprattutto, di g(r). Era questo quello che chiedevo.
>

Ma ce ne sono una infinita'...
Basta fare i calcoli. Jackson Capitolo 4, paragrafo 4.1, formule 4.1 e 4.2.
Considera

h(r) = Y_10(theta,phi) g(r)

dove g(r) e' tale che su [0,R]

int r3 g(r) dr = 0

allora, per tale relazione unitamente alla relazione di ortogonalita'
delle armoniche sferiche (la completezza non serve), dalla
formula 4.3 trovi

q_{lm} = 0

per ogni scelta di l e m ammissibili (l=0,1,2,... e m= -l,-l+1,...l-1,l).
Da cui, per la formula 4.1, il potenziale generato dalla densita' h e' nullo per r>R.
Se vuoi mi metto a cercare una formula esplicita di una funzione g liscia
che soddisfi

int su [0, R] di r3 g(r) dr = 0

ma mi pare che non sia il caso, puoi capire da solo che ce ne sono infinite...
Posso sempre trovarne una che sia liscia e nulla fuori da (R/3,R/2)
Per quanto riguarda la funzione q, a questo punto, e' chiaro che comunque
la scegli, essendo solo funzione di r produce coefficienti q_{lm} nulli,
eccetto eventualmente quello con l=0. Prendiamola costante positiva con valore
c>0 su [R/3,R/2] che decresce in modo liscio fino a zero fuori da tale intervallo
ma comunque con supporto in (0,R). Il q_{00} prodotto da tale funzione
e' sicuramente strettamente positivo come e' immediato provare.
Possiamo scegliere c maggiore del
massimo del modulo di Y_10(theta,phi) g(r) che e' finito perche' questa funzione
e' continua con supporto in un compatto. Con questa scelta, per costruzione
q(r) e' sempre piu' grande di |Y_10(theta,phi) g(r)|, per cui

f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)

e' positiva da qualche parte (almeno su (R/3,R/2)) e non negativa ovunque
e nulla per r>0.
A questo punto la formula dello sviluppo in multipoli 4.1 fa funzionare tutto...
Prenditela con il Jackson se ora non sei ancora convinto

Ciao, Valter
Received on Wed Jan 26 2005 - 19:05:04 CET