Re: Buchi neri e materia

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Wed, 26 Jan 2005 18:57:39 +0100

Aleph wrote:
> Valter Moretti ha scritto:
>
>
>>Aleph wrote:
>
>
> ...
>
>>7> Ti chiedo quindi, se ti � possibile, di postare la forma esplicita della
>>8> densit� di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
>>9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
>>1> per r > R.
>
>
> ...
>
>>A parte gli scherzi ecco qui:
>
>
>>La densita' di massa in coordinate polari e':
>
>
>>f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
>
> ...
>
> S�, ma non hai ancora specificato la forma esplicita di q(r) e,
> soprattutto, di g(r).
> Era questo quello che chiedevo.
>

Ma ce ne sono una infinita'...
Considera

h(r) = Y_10(theta,phi) g(r)

dove g(r) e' tale che su [0,R]

int r^3 g(r) dr = 0

allora, per tale relazione unitamente alla relazione di ortogonalita'
delle armoniche sferiche (la completezza non serve), dalla
formula 4.3 trovi

q_{lm} = 0

per ogni scelta di l e m ammissibili (l=0,1,2,... e m= -l,-l+1,...l-1,l).
Da cui, per la formula 4.1, il potenziale generato dalla densita' h e' nullo per r>R.
Se vuoi mi metto a cercare una formula esplicita di una funzione g liscia
che soddisfi

int su [0, R] di r^3 g(r) dr = 0

ma mi pare che non sia il caso, puoi capire da solo che ce ne sono infinite...
Posso sempre trovarne una che sia liscia e nulla fuori da (R/3,R/2)
Per quanto riguarda la funzione q, a questo punto, e' chiaro che comunque
la scegli, essendo solo funzione di r produce coefficienti q_{lm} nulli,
eccetto eventualmente quello con l=0. Prendiamola costante positiva con valore
c>0 su [R/3,R/2] che decresce in modo liscio fino a zero fuori da tale intervallo
ma comunque con supporto in (0,R). Il q_{00} prodotto da tale funzione
e' sicuramente strettamente positivo come e' immediato provare.
Possiamo scegliere c maggiore del
massimo del modulo di Y_10(theta,phi) g(r) che e' finito perche' questa funzione
e' continua con supporto in un compatto. Con questa scelta, per costruzione
q(r) e' sempre piu' grande di |Y_10(theta,phi) g(r)|, per cui

f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)

e' positiva da qualche parte (almeno su (R/3,R/2)) e non negativa ovunque
e nulla per r>0.
A questo punto la formula dello sviluppo in multipoli 4.1 fa funzionare tutto...
Prenditela con il Jackson se ora non sei ancora convinto :-)

Ciao, Valter





> Ci� che mi lascia dei dubbi sull'espressione precedente � che esprime
> una densit� di massa avente simmetria azimutale e mi pare davvero
> difficile che tale simmetria non si trasferisca pari pari nel potenziale
> che essa genera.
> (...)

Basta fare i calcoli. Jackson Capitolo 4, paragrafo 4.1, formule 4.1 e 4.2.




> La richiesta che il potenziale generato da una tale densit� di massa abbia
> simmetria sferica per valori di r > R equivale alla richiesta che
> l'integrale di volume seguente sia nullo o abbia almeno simmetria sferica:
>
> INT[0, R] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r| = INT[R/3, R/2] -G*Y10*g(r)*dV/|Rp - r|
>
> dove le coordinate d'integrazione si riferiscono a un sistema di
> coordinate polari centrato nel c.m., con l'asse z lungo l'asse di
> simmetria della distribuzione di massa e i vettori Rp (|Rp| > R) e r
> rappresentano rispettivamente il punto P in cui si calcola il potenziale e
> il generico contributo dell sorgente presente in r.
>
> Ora a me non pare per niente ovvio che esista una g(r) in grado di rendere
> sempre nullo o almeno costante (in maniera consistente con tutte le
> condizioni richieste) tale integrale al variare della posizione del punto
> P lungo la circonferenza di raggio |Rp|.
>
> E' per questo che vorrei vedere la forma esplicita della g(r).
>
> ...
>
>>Con queste scelte f e' ovunque non negativa come si addice ad una
>>densita' di massa e, dall'espasione in multipoli della soluzione
>>all'equazione di Poisson (vedi per esempio il Jackson di Elettromagnetismo),
>>risulta subito che il campo generato per R>0 ha tutti i momenti nulli
>>eccetto che quello di monopolo, per cui il campo ha simmetria sferica.
>
> ...
>
> Ho guardato il libro di Jackson ma non riesco a trovare nulla che si possa
> applicare "sic et simpliciter" (sicuramente per miei limiti: purtroppo
> sono piuttosto arrugginito su questi argomenti) al caso in oggetto.
> Intuisco che la chiave di tutto sono le propriet� di ortogonalit� e
> completezza delle armoniche sferiche, ma mi manca ancora qualcosa per
> "chiudere il cerchio".
> Potresti provare a chiarirmi la questione (sempre che non sia troppo lungo
> e impegnativo farlo)?
>
> Saluti,
> Aleph
>
>
Received on Wed Jan 26 2005 - 18:57:39 CET