Re: Red-shift gravitazionale

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 21 Jan 2005 21:23:03 +0100

Michele Andreoli ha scritto:
> Non so se e' confuso, ma "mi ha confuso" si. Ad un certo punto dice:
>
> "...the energy (frequency) of the photon is conserved as it
> propagates in a static gravitation field ... "
>
> Che significa? Che il fotone si muove di moto libero??
Ecchelo la'... avrebbe detto Alberto Sordi :-)

Infatti proprio su questo punto quei signori fanno un discreto
casino...
Ora cerchero' di spiegare.

rez ha scritto:
> ...
> Se ti interessa fammi un fischio che vado avanti, ma bada
> che ci metto la massa relativa del fotone neh;-)) insieme
> alla sua energia totale relativa H: H=Ee^(-U/c^2)=cost.
Il problema non sono i campi di Killing (dei quali del resto si puo'
fare a meno); e' che tu parli un'altra lingua...

Michele Andreoli ha scritto:
> No. Con la RG sono un neofita. Ho giusto letto (a suo tempo) il Landau
> "Teoria dei Campi" fino alla parte cosmologica, e le lezioni del
> Fabri, ma non appena mi metto alla prova, fallisco. Per il 2005 ho
> deciso di approfondirla un po'.
Nelle lezioni del Fabri i campi di Killingi ci sono nell'edizione piu'
recente, non ci sono in quelle piu' vecchie. Dipende da quale hai,

> Non so se ci vogliono i campi di Killing per questo: io dico che e'
> stazionario se, con una opportuno cambio di coordinate, si puo'
> eliminare il tempo dal tensore metrico. Giusto? Comunque, se ci
> vogliono, ci vogliono.
Cone ho gia' detto, non ci vogliono necessariamente.

> L'errore (correggimi se sbaglio) e' che quando si dice "la E del
> fotone si conserva", ci si riferisce alla componente 0 di un
> quadrivettore e, in RG, le componenti si estraggono moltiplicando per
> il tensore metrico gij. La "E" del fotone e' dunque una grandezza
> contenente riferimento esplicito alla gravita', in particolare g00,
> cioe' (approssimativamente) il potenziale gravitazionale. Per una
> particella, questa E comprenderebbe dunque l'mgh.
Si' c'e' in ballo anche questo...
Ma vediamo bene.

Partiamo dalla definizione variazionale di geodetica, che dovresti
conoscere: curva che rende estremale il funzionale

\int g_{ab} dx^a/ds dx^b/ds.

Nota: scrivo a, b per intendere alfa, beta, e scrivo s per il
parametro affine, che piu' spesso viene indicato con lambda. Ma qui le
lettere greche sono una noia...

Questa definizione vale anche per le geodetiche di tipo luce, che sono
quelle che ci servono.
Come dovresti sapere, le geodetiche di tipo luce hanno pero' una
particolarita': che non c'e' una scelta "naturale" del parametro
affine, come accade per le altre.

Per quelle di tipo tempo si prende il tempo proprio, e allora il
vettore q-velocita', definito con u^a = dx^a/dtau, soddisfa
u^a u_a = 1. Poi hai la massa (invariante), e quindi il 4-impulso
p^a = m u^a.

Invece per la luce avremo sempre u_a u^a = 0, essendo u^a = dx^a/ds, e
u^a resta definito a meno di una costante moltiplicativa.
Questo ha la conseguenza che il q-impulso e' indefinito: lo puoi
identificare con la q-velocita', ma resta sempre il fattore
arbitrario.
Il che da un lato ci salva, perche' cosi' possiamo avere fotoni di
q-impulso qualsiasi...

Torniamo alla geodetiche: se lo spazio-tempo e' statico, e se x^0 e'
la coordinata temporale, il teorema di Noether ti dice che lungo ogni
geodetica resta costante g_{0b} u^b.
Ed ecco il punto: Okun et al. chiamano questa "energia", per l'ovvia
ragione che e' il momento coniugato alla coord. x^0, che e' il
"tempo".
Quando dicono che l'energia di un fotone si conserva intendono questo,
ma a mio parere non e' un bel modo di esprimersi.
Tu giustamente resti col dubbio che allora l'energia di un fotone non
sia piu' h\nu...

Per capire che cos'e' l'energia, e che cos'e' l'impulso, bisogna
introdurre un altro attore: il sistema di riferimento (sia pure
locale).
In termini matematici, significa scegliere, in un dato punto dello
spazio-tempo, una base ortonormale {f_a} nello spazio tangente:
(f_a.f_b) = \eta_{ab} (\eta sai che cos'e').

Ho usato il simbolo f per riservare {e_a} alla base associata al sistema
di coordinate: quella che soddisfa (e_a.e_b) = g_{ab}.

In linea di principio non c'e' nessuna relazione obbligata tra le due
basi, ma per il nostro scopo ci conviene che il riferimento sia
"fermo", ossia che la base {f_a} abbia f_0 parallelo a e_0; e allora.
se la metrica e' diagonale, tanto vale prendere anche gli altri
vettori paralleli: f_1 con e_1, ecc.
Si vede che deve essere

f_0 = (g_{00})^{-1/2} e_0. (1)

A questo punto definisco energia e impulso: semplicemente chiamo
"energia" E la componente 0 e "impulso" la parte spaziale del
q-impulso, *rispetto alla base {f_a}.*
(Nota che in questa base p_0 = p^0.)

Dunque E = (p.f_0) = p_0 (g_{00})^{-1/2}. (2)

Ora e' chiaro che cosa succede: se prendo due diversi punti A e B
sulla geodetica di tipo luce, avremo lo stesso valore per p_0 nei due
punti, se p_0 indica la componente rispetto alla base coordinate {e_a};
ma se invece voglio calcolare l'energia, avro' per le (1), (2)

E(A) (g_{00}(A))^{1/2} = E(B) (g_{00}(B))^{1/2}.

Dunque l'energia cosi' definita (che e' quella che uno sperimentale
misura) *non e' costante*.

Da qui tiri subito fuori il redshift, ecc.
                       

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Jan 21 2005 - 21:23:03 CET