Elio Fabri wrote:
> torn ha scritto:
>
>> Ora mi chiedo se puo` esistere un corpo senza simmetria sferica il cui
>> campo gravitazionale pero` la presenti (grazie ad un'opportuna
>> distribuzione di massa). A prima vista non mi pare una domanda banale.
>
> Tanto poco e' banale, almeno per me, che non so la risposta...
>
> Potrei dirti che sicuramente tutti i momenti di multipolo della
> distr. di massa debono essere nulli, tranne il monopolo.
> Ma poi non vedo come dimostrare che quindi la distr. di massa deve
> essere a simmetria sferica.
> Il che e' quanto dire che non so se esista un teorema di completezza
> dello sviluppo in multipoli.
>
> E' un mio vuoto di memoria, o davvero il teorema non esiste?
Mi sembra che tutta la questione si risolva semplicemente, ricordando
che lo sviluppo in multipoli discende dalla espansione in armoniche
sferiche (funzioni complete sull' angolo solido) di una funzione
(arbitraria) scritta in coordinate sferiche.
La domanda di torn riguardava la possibilita' di avere un campo
gravitazionale a simmetria sferica in presenza di una sorgente che non
abbia tale simmetria.
La risposta (nel campo della gravitazione newtoniana) e': dipende dalle
condizioni al contorno.
Se le condizioni al contorno sono a simmetria sferica (per esempio
quelle di "spazio vuoto" == il potenziale si annulla all' infinito) lo
sviluppo in armoniche sferiche dell' equazione di Laplace ( ed il fatto
che le armoniche sferiche sono una base ortonormale completa) implica
che se ho una distribuzione limitata spazialmente i cui momenti di
multipolo superiore al monopolo sono diversi da zero il potenziale
dovra' contenere i termini con le armoniche sferiche corrispondenti.
Percio' la risposta e' negativa: se il corpo non ha simmetria sferica
il potenziale non potra' averla.
Che poi non sorprende se ci ricordiamo che uno dei modi piu' semplici
per ottenere informazioni sulla distribuzione di masse nei pianeti e' di
analizzare le anisotropie del campo gravitazionale. Ovviamente, questa
possibilita' discende dall' analisi teorica.
Received on Thu Jan 20 2005 - 09:15:22 CET
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