smargiassi_at_ts.infn.it wrote:
> laplaciano di V = distribuzione di massa
>
> e si vede subito che se V e' a simmetria sferica - ovvero se dipende
> solo dal modulo di r - anche il primo membro dipende solo dal modulo di
> r, pertanto anche il secondo dipende solo da quello e pertanto la
> distribuzione di massa e' a simmetria sferica.
>
> O mi sfugge qualcosa?
No e' giusto... e' invece falso, in generale che
sorgenti a simmetria sferica => campo a simmetria sferica.
Perche' cio' sia vero bisogna anche fissare opportune condizioni
al contorno. Ricordo che l'equazione di Poisson ammette una soluzione
unica solo se sono anche assegnate condizioni al contorno di un certo tipo.
Una carica a simmetria sferica infilata tra due piastre coduttrici piane
infinite e parallele tenute a potenziale nullo rispetto all'infinito
(questa e' la condizione al contorno) non fornisce un campo a simmetria
sferica.
Le condizioni al contorno non devono essere nemmeno richiedere tutte
la simmetria sferica per produrre un campo a simmetria sferica,
se la sorgente e' a simmetria sferica.
Per esempio, dalla seconda identita' di Green segue facilmente che, per una
carica sferica isolata di raggio finito con densita' superficiale di carica
uniforme su di essa, imponendo che il potenziale u=u(X) tenda a zero all'infinito
soddisfacendo per esempio (assumo l'origine delle coordinate X=(x,y,z) nel centro
della sfera)
|u(X) Grad u(X)| < C |X|^n uniformemente in X
per qualche C >0 e n<2 fissati, si ha che c'e' un'unica soluzione, che e'
ovviamente qualla di Coulomb che _e' a simmetria sferica_.
Notare che c'e' anche una condizione al contorno di Neumann, quella a simmetria
sferica, sulla superficie della carica.
Tuttavia il requisito |u(X) Grad u(X)| < C |X|^n NON richiede esplicitamente
che il campo sia a simmetria sferica. Per esempio u(X) = f(angoli) |X|, dove
f e' una funzione due volte differenziabile con continuita' delle coordinate
angolari soddisfa la condizione al contorno, ma non e' a simmetria
sferica se f non e' costante.
Pero' non soddisferebbe l'equazione di Poisson (e nemmeno la condizione di Neumann
sul bordo interno).
Ciao, Valter
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Valter Moretti
University of Trento
Faculty of Science
Department of Mathematics
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Thu Jan 20 2005 - 10:04:09 CET