Re: GPS e relativita'

From: Pangloss <marco.kpro_at_tin.it>
Date: Wed, 15 Dec 2004 21:40:10 GMT

[it.scienza.fisica 14 Dec 2004] Elio Fabri ha scritto:

>> Ho anche qualche dubbio riguardante l'applicazione della RG. Ho
>> provato a ricalcolare i dati teorici per satelliti a 20000Km di
>> altezza; lo shift cinematico e' corretto, lo shift gravitazionale
>> quadra considerando il potenziale ridotto ad 1/4 di quello terrestre.
>> Ma i satelliti in moto libero non andrebbero considerati soggetti a
>> potenziale nullo? Questo porterebbe a +60E-6 s al giorno lo shift
>> gravitazionale. Sbaglio?
> Su questo invece si' :)
> Campo nullo si', potenziale nullo no.
>
> Il calcolo si fa cosi': parti dalla metrica di Schw., e fai l'appross.
> di campo debole e moto lento, per un'orbita circolare (r=cost.).
> Ottieni
>
> d\tau^2 = dt^2*(1 - 2GM/(c^2 r) - (r^2/c^2)*(d\phi/dt)^2).
>
> (il secondo termine e' il redshift gravitazionale, il terzo e' la
> dilatazione di RR).
>
> Dalla terza legge di Keplero d\phi/dt = \sqrt{GM/r^3}
>
> e sostituendo arrivi a
>
> d\tau = dt*(1 - 3GM(2c^2 r)).
>
> Questo per il satellite in orbita. Ma devi fare lo stesso conto anche
> per il ricevitore a terra, solo che in questo caso per d\phi/dt
> metterai la vel. angolare della Terra.
> Cosi' hai i due d\tau dei due orologi da confrontare.

Riscrivendo la formula approssimata tratta dalla metrica di Schwarzschild
nella forma:

d\tau = dt * [ 1 - GM/(c^2 r) - (r^2*\omega^2)/2c^2 ]

ho notato che essa e' identica all'algoritmo da me usato, ottenuto con
metodi elementari! Per l'effetto cinematico ho scritto:

[d\tau /dt]_c = 1 - \gamma = - v^2/2c^2 = - (r^2*\omega^2)/2c^2

mentre per il red shift gravitazionale ho scritto:

[d\tau /dt]_g = sqrt(-g_oo) = 1 + phi/c^2 = 1 - GM/(c^2 r)

Sommando i due effetti ottengo una formula identica alla precedente.

Se ne conclude che per l'orologio atomico in orbita, soggetto ad un
campo gravitazionale nullo, si deve assumere il potenziale \phi = -GM/r
(e non \phi=0). Le ragioni di tale assunzione forzata mi sembrano ambigue
nello schema elementare (sei d'accordo?), mentre sono limpide in quello
di Schwarzschild.

Grazie per la tua risposta, chiara e completa.

-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
        
Received on Wed Dec 15 2004 - 22:40:10 CET

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