Re: Modello a shell e parità: esame vicino...

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 10 Dec 2004 21:43:51 +0100

Andrea ha scritto:
> 1- una volta stabiliti i numeri quantici Jp di un dato nucleo
> adottando il modello a shell (potenziale armonico + interazione
> spin-orbita), otterr� un valore di p uguale a +1 o -1; bene. Questa
> quantit� rappresenta l'autovalore del solo operatore di inversione
> degli assi (Pl), come suppongo, oppure l'autovalore dell'azione
> combinata dell'operatore di inversione degli assi, dello spin (Ps) e
> dell'isospin (Pt)? Rappresenta cio� la sola parit� "spaziale" o la
> parit� "globale"?
Ho l'impressione che tu ti stia facendo trascinare in un dubbio
piuttosto comune, che deriva dal confondere l'operazione d'inversione
spaziale con lo scambio di due particelle.
La parita' riguarda solo il comportamento dello stato complessivo del
sistema per inversione spaziale.
Lo spin, essendo uno pseudovettore, non cambia, e l'isospin essendo un
grado di liberta' interno non e' affetto dall'inversione.

> 2- Come faccio a stabilire se un dato nucleo � un bosone o un fermione
> senza conoscere lo spin isotopico totale? Voglio dire, la terza
> componente dell'isospin si ricava subito (= (Z-N)/2 ), ma per
> conoscere la parit� complessiva ( = -1^(L+S+T) = -1^(J+T) ) mi serve
> la quantit� vettoriale T ricavabile con la relazione triangolare, e
> quando ho un numero elevato di neutroni e protoni la cosa � molto
> laboriosa...
Guarda che l'essere bosone o fermione dipende *esclusivamente* dal
numero di nucleoni: se sono pari il nucleo e' un bosone, se sono
dispari fermione.
Quando scrivi che la parita' complessiva sarebbe (-1)^(L+S+T) fai
parecchi errori:
1) chiami "parita'" una cosa che non e' la parita', ma il
comportamento dello stato per scambio di due particelle
2) poi l'espressione in generale non e' quella; non lo e' di certo per
piu' di due particelle, ma non lo e' neppure per due, perche' per es.
uno stato di singoletto (S=0) e' antisimmetrico per scambio
3) non puoi sostituire J a L+S: qui L e S sono i *moduli* e non si
sommano come vettori.
Ma poi quell'espressione non ti dira' se il nucleo e' bosone o
fermione: se la scrivi giusta dovra' sempre valre -1, perche' *i
nucleoni* sono fermioni.

Facciamo un esempio, che forse aiuta: il deutone.
Supponiamo di sapere (dalle misure) che il suo (unico) stato legato
sia un S=1, L=0 (in realta' c'e' anche un po' di L=2, ma fa lo stesso).
Da qui impari che lo stato e' pari per lo scambio delle due
particelle, quanto alle coordinate spaziali (L=0), ed e'anche pari per
lo scambio degli spin (S=1).
Siccome i nucleoni sono fermioni, lo stato *deve* essere
antisimmetrico, e questo richiede che sia dispari per lo scambio del
isospin: quindi T=0.
Ma il deutone e' *comunque* un bosone, perche' formato di *due*
nucleoni.

> 3- Protoni e neutroni sono fermioni, ma non sono identici (hanno masse
> diverse e sono costituiti da quark u e d che danno luogo a diverse
> funzioni di sapore); perch� un loro stato legato deve essere descritto
> da una funzione antisimmetrica se il principio di Pauli si applica a
> particelle identiche?
Dico la verita': io ti capisco...
Chissa' che ... corso avrai avuto, accelerato al massimo, e avendo a
malapena inghiottito dei brandelli di m.q. che certo non hai digerito
:-<

Ti faccio una confidenza: l'anno scorso mi e' capitato di avere
lezione spesso dopo quelle di IFNS 2; quindi vedevo sulla lavagna che
cosa era stato trattato.
Non posso dir niente sulla qualita' delle lezioni, ma restavo ogni
volta raccapricciato dalla materia trattata, e dalla velocita' con cui
procedeva...

la questione che poni e' sensata, e la ripsota e' questa: si otrebbe
dire che protone e neutrone siano perticelle diverse e pace, come
proponi tu. E' quello che si faceva fino a circa il 1940.

Poi nacque l'idea che certe proprieta' osservate dei nuclei
indicassero un'identita' piu' profonda delle due particelle, e fu
postulata una simmetria dell'interazione. Non rigorosa, ma tuttavia
utile.
Poi le cose sono andate avanti, e non posso certo farti un ... breve
corso :-)
Ma sta di fatto che l'ipotesi di base e' proprio che neutrone e
protone (in seguito sostituiti in questo ruolo dai quark u e d) siano
la stessa particelle in stati diversi, distinti da un numero quantico
(T3).
Se sono la stessa particella, che e' un fermione, lo stato di un
sistema formato da piu' d'una di queste particelle deve sempre essere
antisimmetrico nello scambio di due (v. sopra).

Manca una cosa, che forse non vedi da solo: perche' un nucleo con A
(numero di massa) pari e' un bosone?
Immagina due di questi nuclei, e pensa di scambiarli: questo significa
scambiare gli A nuceloni del primo nucleo con gli A nucleoni del
secondo, ossia fare A scambi di due nucleoni.
Per ogni singolo scambio il vettore di stato cambia segno, ma A e'
pari, quindi hai un numero pari di cambiamenti di segno, et voila'...

> Ma allora non dovrebbero, tutti i nuclei, essere fermioni (ho detto
> una mostruosit�, lo so, ma proprio non riesco a ricostruire una
> regola)? Cio�, se ho n nucleoni (in parte protoni e in parte
> neutroni), dove n � il numero di massa, legati dall'interazione forte,
> che parit� avr� la funzione d'onda?
Va bene, avevi un bal casino in testa :-)
Ho scritto "avevi" perche' spero di aver messo un po' d'ordine...
                                   

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Dec 10 2004 - 21:43:51 CET