Esercizio di fisica. Autofunzioni simmetriche

From: Moonself <trappola2_at_NOSPAMtiscalinet.PUNTOit>
Date: Fri, 3 Dec 2004 17:15:51 +0100

Ciao a tutti.
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio e siccome fino a
gioved� non posso consultare il prof, vorrei sapere se � la strada
giusta:
data una particella soggetta a un potenziale armonico a simmetria
sferica U(r)= 1/2 k*r^2 trovare le autofunzioni che siano anch'esse a
simmetria sferica. Trovare poi i relativi autovalori.
Io procedo cercando delle autofunzioni del tipo u(r, teta, fi)= u(r)
cio� non c'� dipendenza dalla parte radiale.
E' corretto dire che la parte relativa alle armoniche sferiche ha come
numeri quantici L=0 e m=0? Mi pare che siano le uniche armoniche che
presentino la simmetria richiesta.
Se sostituisco queste funzioni nell'hamiltoniano ottengo un'equazione
per la sola parte radiale che mi risulta del tipo:

-h/2m d^2u/dr^2 + 1/2 k*r^2u = w u

<lo so, leggere la notazione via mail � un tormento><h � in realt� h
tagliato, w l'autovalore di u>
Questa non � altro che l'eq per le autofunzioni dell'oscillatore
armonico monodimensionale, per la quale posso usare i risultato
conosciuti <� un suggerimento del testo>.
A questo punto mi viene da dire che le soluzioni per la parte radiale
sono del tipo:

u(r)=Nn*Hn(ar)*e^[(-ar)^2]/2 dove Nn � una costante di
normalizzazione e Hn sono i polinomi di Hermit di grado n-esimo.

"a" � una costante che dipende da m,k e h.
Ora ho alcuni dubbi <il primo dubbio � "sto sbagliando qualcosa?"> :)

1) in effetti r va da 0 a infinito, mentre in genere la soluzione per
oscillatore armonico va da meno infinito a pi� infinito. questo
comporta una costante di normalizzazione diversa per le u(r) rispetto
a quelle che so ottengono dall'oscillatore classico. ci sono altre
conseguenze?

2) ho una perplessit� riguardo lo stato fondamentale: questo dovrebbe
avere autovalore w=h*v*(n+1/) e se n=0 si ottiene che l'autovalore �
h*v(1/2). se per� cerco le soluzioni in coordinate cartesiane, queste
sono il prodotto delle tre autof. relative alle tre coordinate u(x),
u(y), u(z). Ciascuna di queste porta un contributo all'energia dello
stato fondamentale, e si ha che per nx=ny=nz=0 l'autovalore � w=
h*v*3/2. POich� lo stato nx=ny=nz=0 � ovviamente a simmetria sferica,
qualcosa non torna...
Nello studio in coordinate sferiche dovrei avere che lo stato
fondamentale � quello con n=1 per ottenere medesimo autovalore...o
forse sto incasinando qualcosa

3) i polinomi Hn(ar) hanno parit� definita da n, in particolare sono
pari se lo � n. Pi� ci penso e pi� mi convinco che solo le funzioni
con una certa parit� possono essere le u(r) richieste ma non trovo
nessuna "evidenza" matematica

Se qualcuno avesse la pazienza di spendere un p� di tempo su un
problema <decisamente banale, lo so...ma non m itorna> gliene sarei
grato.
Un saluto.

Moonself
Received on Fri Dec 03 2004 - 17:15:51 CET