Il 15 Nov 2004, 20:31, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > Direi che e' vero se il numero delle frequenze e' finito. Era un pezzo
> > forte di Landau, che lo limitava strettamente al caso di un sistema
> > con un numero finito di gradi di liberta', ma la questione e' stata
> > dibattuta a lungo per sistemi con infiniti gradi di liberta' ed in
> > generale la quasi periodicita' per un sistema ad infiniti gradi di
> > liberta' richiede qualche vincolo sulla decrescenza degli esponenti,
> > la quale in generale non e' affatto garantita per condizioni iniziali
> > generiche. Inoltre questo quasi periodo dipende dalla specifica
> > configurazione, come ovvio esistono condizioni esattamente periodiche:
> > i modi normali.
> Vediamo che cosa ho capito.
> A me sembrerebbe che non ci voglia Landau per un n. finito di gradi di
> liberta', ma forse mi sfugge qualcosa.
E' Landau che per convincersi della quasi periodicita' di un sistema
integrabile studia la situazione con finiti gradi di liberta' o con un
numero
finito di frequenza fondamentali. Non e' chiaro quanto Landau avesse
capito dei sistemi non integrabili nella loro generalita', ma se leggi il
libro
di meccanica capisci presto che il suo approccio era orientato
principalmente
alla non linearita' e passa per lo studio del fenomeno del raddoppio delle
frequenze.
Quello che faceva per trattare situazioni ad infiniti gradi di liberta' di
interesse in
fisica dei continui era pensare ad un meccanismo di anarmonicita' che
strutturava
i periodi del sistema, in modo che fosse essenzialmente possibile ricondurre
il
caso ad infiniti gradi di liberta' ad un numero finito di gradi di liberta'
attivi.
Qualcosa del genere si verifica per davvero in alcune situazioni e sembra
avere
una profonda connessione con il gruppo di rinormalizzazione. Landau pensava
che per esempio fosse questo il meccanismo alla base della K41.
Nelle prime pagine delle lezioni di Ruelle all'accademia dei Lincei trovi
una
rassegna sulle discussioni relative a questo argomento. Problema che
Ruelle e Takens hanno inquadrato in modo quasi generale stabilendo un
nesso fra la struttura dei ritorni e la dimensione delle sezioni di
Poincare'
di un sistema.
> Quanto alle funzioni quasi periodiche, ricordo di aver letto tanti
> anni fa i libro di Harald Bohr (fratello di Niels) nel quale se
> ricordo bene c'era un teorema del tipo:
>
> condizione n. e s. perche' una funzione sia quasi periodica e' che sia
> la somma di una serie di Fourier generalizzata.
>
> Quello di cui non sono sicuro e' il tipo di convergenza richiesto per la
> serie.
Chissa' se lo ritrovo.
> Quanto al resto, ho capito poco ma direi che hai ragione sul fatto che
> teorema del ritorno e quasi periodicita' non hanno a che fare con
> l'irreversibilita': e' la famosa questione del teorema H, e il
> paradosso si risolve appunto pensando alle scale dei tempi.
> Il ritorno ci puo' essere, ma dopo un tempo spropositatamente lungo.
> Anzi non so come vadano le cose con infiniti gradi di lib.
In altre parole molto semplici: il ritorno e' una fluttuazione. Viene
assorbita tanto piu' in fretta quanto piu' lontano porta il sistema dalla
sua condizione statistica media. Questo e' generalmente vero quando
si ha un nucleo di memoria di Drude, ovvero dissipazione esponenziale.
Gallavotti ha dimostrato che sotto l'ipotesi caotica vale un teorema di
fluttuazione che essenzialmente si puo' rileggere dicendo che nei sistemi
che verificano l'ipotesi caotica il nucleo di memoria ha una componente di
Drude dominante.
Il caso proposto da Bruno invece ha evidentemente un nucleo di Drude su
scale temporali minori del periodo di prima armonica della corda libera,
che e' evidenziato dal comportamento della masserella nella simulazione di
Michele, ma ha un nucleo di memoria di carattere non esponenziale per scale
temporali maggiori del periodo di prima armonica. Se guardi la simulazione
illustrata da Michele si nota una struttura di questo genere nella struttura
dei
picchi che diventano passo per passo piu' bassi, Il periodo di prima
armonica si comporta infatti come un quasi periodo per il sistema proposto
da Bruno. Quello che si evince dalla simulazione prodotta da Michele e'
una struttura del nucleo di memoria su lungo termine che e' inversamente
proporzionale con il numero di riflessioni.
Indipendentemente dall'andamento dei coefficienti questa quasi periodicita'
si
verifica per la struttura delle frequenze che sono tutte comprese in
intervalli
multipli interi di un intervallo fondamentale. Se questa e' una condizione
richiesta dal teorema che citi di Harald Bohr (non era anche nella
della nazionale danese di calcio?) allora ci sta che sia vero a prescindere
dagli andamenti dei coefficienti. In generale le relazioni di dispersione
possono
essere piu' complesse.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Nov 17 2004 - 20:18:41 CET