0. - RIEPILOGO DEL POST PRECEDENTE
Nel post precedente ho ricordato che lo stato puro di un sistema composto
pu� sempre essere scritto come sovrapposizione coerente di stati
ortogonali e fattorizzabili in stati puri dei suoi sottosistemi
(biortogonalizzazione di Schmidt). Dopodich� ho mostrato che gli stati puri
dei sottosistemi ottenuti in questo modo sono anche quelli che consentono di
esprime in forma diagonale l'operatore densit� ridotto relativo ai due
sottosistemi.
Fatto ci� ho avanzato i due seguenti problemi:
1) questa scomposizione la si pu� fare "istante per istante", ricavando cos�
delle "traiettorie" negli spazi di Hilbert dei due sottosistemi ed ottenendo
una descrizione *cinematica* dei due sottosistemi; ma che ne � della
*dinamica* di quelle "traiettorie"?
2) come ricavare altre basi in cui l'operatore densit� sia diagonalizzato,
oltre a quella che si ottiene con la biortogonalizzazione degli stati del
sistema composto?
1. - DINAMICA DELL'OPERATORE DENSITA'
Affrontiamo ora questi due problemi, cominciando dal primo.
Per comprendere la dinamica dell'operatore densit� del sistema S quando
quest'ultimo interagisce con E, � bene considerare prima il caso in cui S �
isolato, al fine di confrontare poi i due casi.
1.1. - Sistema isolato
Supponiamo dunque che il sistema S sia isolato ed il suo stato sia descritto
da un operatore densit� rho[s]. Che accade al passare del tempo?
Sia rho[s](0) l'operatore densit� all'istante t=0, e supponiamo di averlo
diagonalizzato in una base |s[k](0)>:
rho[s](0) = sum{k} p[k](0) |s[k](0)><s[k](0)|
Ora, se al tempo t=0 il sistema ha una probabilit� p[k](0) di trovarsi nello
stato |s[k](0)>, al tempo t esso avr� ancora la probabilit� p[k](0) di
trovarsi nello stato
|s[k](t)> = U[s](t)|s[k](0)>
dove U[s](t), al solito, � la matrice unitaria generata dalla hamiltoniana
del sistema S. Ne segue che gli autovalori di rho[s] non cambiano nel tempo,
mentre i suoi autostati evolvono secondo la dinamica determinata
dall'operatore unitario U(t):
rho[s](t) = sum{k} p[k] |s[k](t)><s[k](t)|
In sintesi: le probabilit� restano costanti nel tempo, mentre gli autostati
di rho[s] al passare del tempo non sono altro che l'evoluzione temporale dei
suoi autostati iniziali. Tutto molto facile e persino intuitivo, dunque.
1.2. - Sistema in interazione con l'ambiente
Passiamo ora a considerare il caso in cui il sistema S interagisce con
l'ambiente E. Abbiamo detto e ripetuto che uno stato puro del sistema SE pu�
essere sempre biortogonalizzato e che gli stati cos� ottenuti diagonalizzano
gli operatori densit� dei sottosistemi. Sia dunque, all'istante t=0:
|se(0)> = sum{k=1,N(0)} c[k](0) |s[k](0)>|e[k](0)>
da cui:
rho[s](0) = sum{k=1,N(0)} |c[k](0)|^2 |s[k](0)><s[k](0)|
con, al solito,
N(0) <= min{dimH[e],dimH[s]}
Lasciamo ora che passi un tempo t, sicch� lo stato |se(0)> evolve nello
stato |se(t)>. Ebbene, come si biortogonalizza questo stato? Che rapporto
esiste fra gli stati che biortogonalizzano |se(t)> e quelli che
biortogonalizzano |se(0)>? E qual � la dipendenza dal tempo dei
coefficienti? E che ne � del numero N di stati fattorizzabili che occorre
sovrapporre?
Supponiamo che l'hamiltoniana del sistema SE generi l'operatore unitario
U[se](t). Allora si ha:
|se(t)> = U[se](t)|se(0)> = sum{k}c[k](0) U[se](t) |s[k](0)>|e[k](t)>
Se il sistema S ed il sistema E non interagissero fra di loro allora
U[se](t) sarebbe fattorizzabile nel prodotto di un operatore che agisce solo
in H[s] ed un operatore che agisce solo in H[e], sicch� il trasformato
temporale di uno stato fattorizzabile sarebbe ancora fattorizzabile:
U[se](t)|s[k](0)>|e[k](t)> = U[s](t)|s[k](0)> U[e](t)|e[k](t)> =
= |s[k](t)>|e[k](t)>
Ma d'altra parte se S ed E non interagissero allora S sarebbe un sistema
isolato e ci ritroveremmo nel caso precedente. A noi qui interessa il caso
in cui i due sottosistemi interagiscono, sicch� U[se](t) non �
fattorizzabile, e pertanto l'operatore U[se](t) "rimescola" le componenti in
H[s] ed in H[e] dello stato |se>.
Ne segue che se al tempo t vogliamo biortogonalizzare |se(t)>, dovremo usare
degli stati ortogonali |s[k](t)> ed |e[k](t)> che *non* sono ricavabili come
"evoluzioni temporali" degli stati |s[k](0)> ed |e[k](0)>.
1.3. - Variazione dell'entanglement
Non solo, ma anche il numero N di stati fattorizzabili che occorre
sovrapporre per ottenere |se> in genere pu� variare nel tempo. In paricolare
se esso all'istante t=0 � minore della dimensione minima dei due spazi di
Hilbert:
N(0) < min{dimH[s],dimH[e]}
pu� crescere nel tempo fino a raggiungere le dimensioni dello spazio pi�
piccolo, nel qual caso l'entanglement fra i due sistemi � massimo.
Ce ne rendiamo conto se consideriamo il caso particolare in cui i due
sistemi fino all'istante t=0 non interagiscono fra di loro, sicch� per t<=0
essi non sono entangled e lo stato di SE pu� essere fattorizzato:
|se(0)> = |s(0)>|e(0)> con N(0)=1
Ebbene, non appena inizia l'interazione l'operatore dell'evoluzione
temporale comincer� a "rimescolare" i due fattori, sicch� dopo un certo
tempo t il numero N(t) di stati fattorizzabili da sovrapporre per
ottenere |se(t)> potr� essere aumentato fino alle dimensioni del pi� piccolo
dei due spazi di Hilbert (che nel nostro caso sar� solitamente H[s], visto
che l'"ambiente" avr� maggiori gradi di libert�).
E' soprattutto questo meccanismo ad impedirci di porre una relazione
dinamica fra i vettori |s[k](0)> ed |s[k](t)>, ovvero il fatto che al
variare di t i secondi possono diventare di pi� (o, eccezionalmente, di
meno) dei primi.
1.4. - Variazione delle probabilit�
Inoltre, dal momento che la biortogonalizzane di |se> all'istante t=0 non �
legata dinamicamente alla biortogonalizzazione all'istante t, ad ogni
istante i coefficienti c[k] vanno "ricalcolati", sicch� essi in genere
dipendono dal tempo.
Abbiamo dunque:
|se(t)> = sum{k=1,N(t)} c[k](t) |s[k](t)>|e[k](t)>
con N(t), c[k](t), |s[k](t)> e |e[k](t)> che vanno scelti istante per
istante e che dipendono da |se(t)>.
Se ora andiamo a considerare l'evoluzione temporale dell'operatore densit�
ridotto rho[s], troviamo:
rho[s](t) = sum{k=1,N(t)} |c[k](t)|^2 |s[k](t)><s[k](t)|
Rispetto al caso in cui il sistema S era isolato, troviamo che gli
autovalori di rho[k] oltre a variare in numero possono anche variare nel
tempo. Dal punto di vista dinamico questa dipendenza temporale ci preclude
definitivamente la possibilit� di intendere la dipendenza temporale di
rho[s] come l'evoluzione dello stato di un sistema che al tempo t=0 aveva
una certa probabilit� p[k] di trovarsi in vari stati |s[k](0)>. Infatti se
lo stato |s[k](t)> fosse in qualche modo (magari a noi ancora ignoto) legato
dinamicamente allo stato |s[k](0)> (se, co�, ne fosse l'"evoluzione") allora
il sistema S che al tempo t=0 si trovasse nello stato |s[k](0)> dovrebbe
trovarsi nello stato |s[k](t)> al tempo t, sicch� la probabilit� p[k]
dovrebbe restare costante nel tempo. Qui invece non solo p[k] varia nel
tempo (il che � difficilmente concepibile), ma saltano fuori anche dei
"nuovi" stati |s[k](t)> con k>N(0) i quali, dunque, non corrispondono alla
"evoluzione" di alcunch�.
1.5. - Impossibilit� di isolare la dinamica del sistema
D'altra parte se anche fossimo in grado di scrivere delle complicate
funzioni che ci forniscono tutte le dipendenze temporali di
N(t), |c[k](t)|^2 ed |s[k](t)> troveremmo che tali funzioni dipendono in
genere non solo dalle interazioni di S con E, ma anche da tutti i dettagli
dello stato |se(t)>, sicch� per sapere come evolve il nostro sistema S
dovremmo conoscere in ogni istante lo stato dell'intero universo!
Tutto ci� ci fa comprendere che la biortogonalizzazione dello stato |se> pu�
avere solo ed esclusivamente un valore *cinematico*, e *non* pu� essere
utilizzata in alcun modo per comprendere l'evoluzione del sistema S dal
punto di vista *dinamico*.
E' un po' come se avessimo scelto un sistema di riferimento "sbagliato" dal
punto di vista dinamico, ed ora ci trovassimo alle prese con una miriade di
"cicli ed epicicli", e l'impossibilit� di isolare - anche solo
approssimativamente - certi sottosistemi o certi gradi di libert�.
Certo, la biortogonalizzazione di |se> ci ha fatto comprendere che esiste
una specifica relazione fra interferenza, entanglement e comportamento
"classico". Ma se vogliamo fare dei passi avanti bisogna trovare il modo di
ritrovare quella relazione anche dal punto di vista dinamico.
2. DIAGONALIZZAZIONE E OSSERVABILI CLASSICHE
L'analisi della dinamica dell'operatore densit� ci consente di comprendere
meglio anche il secondo problema, quello costituito dalla necessit� di
trovare anche altre basi in cui diagonalizzare rho, per lo meno quelle basi
corrispondenti a tutte le grandezze "classiche". Questa �, quantomeno, una
condizione necessaria per poter "recuperare" la MC dalla MQ, poich� fino a
quando una grandezza mostra delle interferenze essa manifesta con la massima
evidenza la sua natura "quantistica".
Avevamo una base che ci sembrava potesse andare bene, che � quella
ottenibile dalla biortogonalizzazione, ma abbiamo scoperto che non �
utilizzabile dal punto di vista dinamico: � come se avessimo scelto il
sistema di riferimento sbagliato.
Cos� l'unico sistema di stati ortogonali in cui rho[s] si diagonalizza
esattamente si rivela inutile dal punto di vista dinamico, e allo stesso
tempo abbiamo bisogno di diagonalizzare rho[s] rispetto a tutti gli
"osservabili "classici". Mettendo assieme le due cose comprendiamo che se
vogliamo usare questa strada per recuperare la MC dalla MQ dobbiamo
rinunciare ad una o entrambe delle seguenti "pretese":
1) usare un sistema di vettori *ortogonali*;
2) effettuare una diagonalizzazione *esatta*.
Il prossimo passo da compiere sar� dunque quello di cercare di capire se sia
possibile ottenere delle diagonalizzazioni *approssimate* di rho[s], usando
eventualmente delle basi *non ortogonali*. E' quanto cercher� di fare nei
prossimi post.
Saluti.
D.
Received on Wed Nov 17 2004 - 23:51:53 CET
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