Il 11 Nov 2004, 21:00, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Dato che le frequenze sono incommensurabili, direi che si possa anche
> dire che l'evoluzione temporale e' "quasi periodica", nel senso che
> comunque scelto un epsilon, si trova un tenpo T tale che le
> configurazioni a t e a t+T differiscono per meno di epsilon.
> (Pero' non chiedetemi la dimostrazione...)
Direi che e' vero se il numero delle frequenze e' finito.
Era un pezzo forte di Landau, che lo limitava strettamente
al caso di un sistema con un numero finito di gradi di liberta',
ma la questione e' stata dibattuta a lungo per sistemi con infiniti
gradi di liberta' ed in generale la quasi periodicita' per un sistema
ad infiniti gradi di liberta' richiede qualche vincolo sulla
decrescenza degli esponenti, la quale in generale non e'
affatto garantita per condizioni iniziali generiche. Inoltre
questo quasi periodo dipende dalla specifica configurazione,
come ovvio esistono condizioni esattamente periodiche: i modi
normali.
Nota che la condizione di energia finita non implica, in questo caso,
nessuna condizione sulla decrescenza dei coefficienti di sviluppo,
come risulta mostrato dall'esempio dell'evoluzione
temporale di sen(k|x|-l/2), puoi avere una singolarita' sulle
funzioni da condizioni assolutamente regolari. Altra
osservazione: cosi' come il teorema del ritorno di Poincare'
non implica la falsita' in senso statistico del teorema H,
allo stesso modo una condizione di quasi periodicita' non
implica affatto che nella media temporale l'energia risulti
per frazioni di tempo paragonabili su una parte o sull'altra
del sistema, anzi al contrario avrai dissipazione statistica,
nel senso che piu' grandi sono le frequenze coinvolte e
piu' velocemente il sistema si allontana dalla condizione
eccezionale, anzi e' semplice dimostrare che vale un teorema
di equipartizione sul modulo quadro della somma di frequenze
incommensurabili. Si tratta di una semplice applicazione di un
teorema di Kac.
Per convincerti del fatto che il quasi periodo cresce man mano
che il numero di frequenze dissonanti cresce puoi considerare
il caso che le frequenze siano addirittura razionali.
Per trovare il periodo devi risolvere l'equazione:
(f1 - f2) t = 0 mod (2pi) quando le frequenze sono tre hai
tre equazioni da risolvere simultaneamente e cosi' di seguito.
Ultimissima osservazione: siccome la condizione di quasi periocita'
implica un epsilon ti accorgi che dopo due periodi la distanza raddoppia,
e cosi' di seguito.
Per puro gusto ho risolto il problema dell'evoluzione temporale
di una condizione iniziale spigolosa: |x| -l/2. In questo caso i
coefficienti sono semplici da valutare:
2 [ sen(k l/2) - kl/2 cos(kl/2)]/k^2 - (M/mu)*(l/2)*sen(k l/2).
Il comportamento asintotico e' facile da trovare perche' quando
applichi la condizione di continuita' trovi che al crescere di k
tan(kl/2) tende a zero. Di conseguenza sen(kl/2) tende a zero,
mentre cos(kl/2) tende ad uno perche' comunque tan(kl/2) > 0.
Dunque l'andamento asintotico e' 1/k ed anche in questa condizione
e' assolutamente difficile riconoscere una quasi periodicita'.
Il numero piu' importante da stimare in questo caso e' piuttosto il
tempo di decoerenza. Ovvero la funzione di correlazione. Ti accorgi
facilmente che una condizione iniziale con coefficienti tutti esattamente
in fase evolve rapidamente in una condizione di completa scorrelazione
fra le fasi.
> E' un po' il teorema del ritorno di Poincare', ma piu' forte, per due
> ragioni:
> a) che questo e' un sistema con infiniti gradi di liberta'
> b) che esiste un "quasi periodo", cosa che il t. di Poincare'
> in generale non asserisce.
>
> Conseguenza fisica: l'energia oscilla tra pallina e corda, non c'e'
> nessun trasferimento irreversibile.
> ------------------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> ------------------------------
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Nov 11 2004 - 23:54:30 CET