Salve,
un po' di tempo fa ho avuto il piacere di partecipare ad un istruttivo
confronto con alcuni utenti di questo ng sulla famosa domandona:
�la decoerenza risolve il problema della misura in MQ?�
Questo confronto, purtroppo, non ha condotto a delle conclusioni chiare
(probabilmente per limiti miei), sicch� � rimasto un po' in sospeso. Qualche
giorno fa mi � venuta la curiosit� di provare ad affrontarlo in modo un po'
pi� solido e rigoroso, e cos� mi sono preso un po' di testi con
l'intenzione di riprendere la MQ dalle basi, cercando di capire qual � il
nodo che produce tutti questi pareri discordanti, incomprensioni e
malintesi.
Ovviamente sarebbe eccessivo immaginare di poter ricostruire la MQ passo a
passo su un ng; ci� non toglie per� che si possano individuare alcuni punti
critici e tentare di chiarirsi su quelli prima di affrontare il cuore del
problema.
In questo articolo vorrei affrontare il primo di questi punti critici che ho
individuato, e che consiste nell'analisi del significato fisico del
cosiddetto "operatore densit�".
Vi chiederei dunque di seguire nei dettagli il mio approccio a questo
strumento matematico, cercando di mantenere passo a passo i "contatti" con
il significato fisico di quello che stiamo facendo, poich� ho il sospetto
che l'orgine di tutti i malintesi stia proprio in questa parte della teoria
quantistica.
STATI PURI
Supponiamo di avere un sistema fisico S isolato.
Se abbiamo una informazione "completa" sul modo in cui � stato "preparato"
il sistema, allora il suo stato fisico pu� essere rappresentato
matematicamente da un vettore |s> di uno spazio di Hilbert associato ad S.
Diciamo allora che S si trova in uno stato "puro".
Dato un generico "osservabile" rappresentato da un operatore autoaggiunto A,
il suo valore atteso � dato da:
<A> = <s|A|s> = Tr(|s><s|A)
STATI MISCELATI E ENSEMBLE
Pu� accadere per� che la nostra informazione sulla preparazione del sistema
non sia completa, ad esempio perch� nel dispositivo che "prepara" S vi � un
elemento random. Supponendo, per semplicit�, che l'elemento random possa
compiere una scelta casuale fra un numero finito di casi, possiamo
individuare una serie di stati puri:
|s[1]>, |s[2]>, ... |s[k]> ... |s[n]>
ed affermare che S ha una probabilit� p[k] di essere stato preparato nello
stato |s[k]>.
Quando sussistono queste condizioni diciamo che il sistema si trova in uno
stato "miscelato".
E' opportuno chiarire che fra i vari stati |s[k]> non si ha alcuna
"interferenza", perch� il sistema non si trova in una "sovrapposizione" di
quegli stati. Noi sappiamo che il sistema � sicuramente in qualcuno di
quegli stati puri, solo che non sappiamo in quale esso sia. Le probabilit�
p[k] esprimono dunque la nostra "ignoranza" sullo stato del sistema, non una
propriet� intrinseca della sua dinamica, come avviene per le sovrapposizioni
quantistiche.
I fisici per esprimere questa "probabilit� legata all'ignoranza" usano
spesso il concetto di "ensemble", nel senso che laddove un sistema pu�
trovarsi in diversi stati con una certa probabilit� (ma � sicuramente in
qualcuno di quegli stati) si pu� immaginare di avere tante "repliche" di
quel sistema, e che il numero di quelle repliche (o, nel caso continuo, la
loro densit�) esprima la probabilit� associata ai vari stati possibili. Cos�
facendo si sostituisce un "conteggio" alla "probabilit�".
Come sappiamo ci sono delle buone ragioni per fare uso dell'"ensemble",
tuttavia non vorrei che ci distogliesse dal significato fisico delle
grandezze che stiamo usando. Ricordo infatti che noi concretamente di
sistemi fisici ne abbiamo uno solo, e quel sistema fisico si trova
certamente in un certo stato quantistico (in quale a sua volta potr� essere
costituito da una certa sovrapposizione di "stati classici", ma questa �
un'altra faccenda).
Dunque se vogliamo nel seguito possiamo anche usare il concetto di
"ensemble", purch� sia chiaro che se lo facciamo in realt� non stiamo
parlando di *molti* sistemi fisici, ma della nostra "ignoranza" dello stato
di un *singolo* sistema fisico, e del fatto che esso *�* certamente in un
qualche stato, anche se non sappiamo quale sia e sappiamo solo dire qual �
la probabilit� che il sistema si trovi nei vari stati.
UNIFICAZIONE DEI DUE CASI: L'OPERATORE DENSITA'
Chiarito ci�, riprendiamo il nostro "osservabile" A e proviamo a chiederci
quale sia il suo "valore atteso". Se sapessimo con certezza che il sistema S
si trova nello stato |s[k]> allora potremmo dire che
<A>[k] = <s[k]|A|s[k]> = Tr( |s[k]><s[k]| A )
Tuttavia il sistema pu� trovarsi in diversi stati, ognuno con una certa
probabilit�, sicch�:
<A> = sum[k] ( p[k] Tr(|s[k]><s[k]| A) ) =
= Tr ( sum[k] ( p[k] |s[k]><s[k]| ) A )
Introduciamo allora l'operatore densit� del sistema S:
rho := sum[k] p[k] |s[k]><s[k]|
dopodich� resta:
<A> = Tr ( rho A )
Osserviamo che anche nel caso in cui il sistema si trovi in uno stato
puro |s> si pu� introdurre tale operatore ponendo:
rho := |s><s|
D'altra parte questa � l'espressione che si ottiene per rho quando si
osservi che se il sistema si trova nello stato |s> allora � come dire che
esso si trova in |s> con probabilit� 1 ed in tutti gli altri stati con
probabilit� 0.
L'operatore rho ha alcune propriet� importanti. In particolare possiamo
osservare che le espressioni che abbiamo usato per definirlo sono tutte in
forma diagonale, sicch� gli stati |s[k]> sono gli autovettori di rho
corrispondenti agli autovalori p[k], i quali sono sempre reali e positivi.
Ne segue, in particolare, che
Tr(rho) = sum[k] p[k] = 1
Dunque i due casi possono essere trattati in modo matematicamente uniforme,
affermando che lo stato fisico di un sistema pu� sempre essere rappresentato
da un operatore autoaggiunto definito positivo con traccia unitaria.
(Avrei potuto risparmiarmi tutta questa faticaccia ed enunciare direttamente
il teorema di Gleason, ma per procedere ho bisogno di mantenere ben chiaro
il significato fisico delle grandezze matematiche che stiamo usando, perch�
altrimenti poi sorgono i famosi malintesi quando si vanno ad affrontare
delle questioni pi� complesse.)
IL "PROBLEMA INVERSO": DA RHO ALLO STATO FISICO
A questo punto affrontiamo il "problema inverso": supponiamo di avere un
sistema S del quale conosciamo solo l'operatore rho associato al suo
stato, e vogliamo cercare di capire qualcosa del "significato fisico" di
questo stato.
Per prima cosa ci interessa sapere se il sistema si trova in uno stato
"puro" o "miscelato".
Se si trova in uno stato puro |s> esso deve poter essere espresso cos�:
rho = |s><s|
il che � come dire che rho ha uno solo autovalore diverso da 0,
corrispondente ad un solo autostato, mentre tutti gli altri autovalori sono
degeneri e nulli.
Se invece gli autovalori diversi da 0 sono pi� di uno allora il sistema si
trova in uno stato miscelato.
Senza doverci calcolare autovalori ed autostati di rho possiamo moltiplicare
rho per se stesso, ottendo un operatore che in forma diagonale � dato dalla
seguente espressione:
rho^2 = sum[k] ( p[k]^2 |s[k]><s[k]| )
Ora, poich� i valori p[k] sono tutti positivi e la loro somma deve dare 1,
essi sono tutti minori di 1 tranne nel caso in cui il sistema si trovi in
uno stato puro. Ne segue che
p[k]^2 <= p[k]
da cui:
Tr( rho^2 ) = sum[k] p[k]^2 <= 1
dove l'uguaglianza sussiste solo nel caso dello stato puro.
Dunque dato rho ci� che dobbiamo fare per sapere se il sistema si trovi o
meno in uno stato puro � moltiplicare rho per se stesso e calcolare la
traccia di tale prodotto. Se essa � pari a 1 il sistema si trova in uno
stato puro, altrimento esso � in uno stato miscelato.
Se si trova in uno stato miscelato noi sappiamo per certo che esistono degli
autovettori |s[k]> di rho tali che:
rho = sum[k] p[k] |s[k]><s[k]|
e quando il sistema si trova in questo stato per un generico osservabile A
si ha
<A> = sum[k] p[k]<A>[k]
che � esattamente l'espressione che si ottiene quando del sistema non
sappiamo in che stato si trovi, ma siamo *certi* che il sistema si trova in
qualcuno degli stati |s[k]>, e *non* in una loro "sovrapposizione".
Arrivato a questo punto chiederei ai gentili lettori che hanno voglia e
tempo di portare avanti questa chiacchierata di "fare il punto":
siamo tutti d'accordo che un sistema fisico si trova *sempre* in modo
*certo* in un qualche autostato di rho, anche quando Tr(rho^2)<1?
Se fino a qui siamo d'accordo, nei prossimi post prender� in esame il caso
in cui il sistema S non sia isolato, ma interagisca con l'ambiente e -
soprattutto - col famigerato "strumento di misura".
A presto.
D.
Received on Wed Nov 10 2004 - 17:35:09 CET