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From: Davide Pioggia <dpioggia_at_despammed.com>
Date: Sun, 14 Nov 2004 15:11:13 GMT

Paolo Russo wrote:

> Faccio un esempio. Lancio una moneta un gran numero N di
> volte e scrivo su un foglio la sequenza di teste e croci. Il
> foglio viene inserito in un apparato che produce un fascio
> (debolissimo) costituito da N particelle a spin 1/2 (diciamo
> atomi d'argento) con lo spin perpendicolare alla direzione
> del fascio e con un angolo con la verticale che dipende dalle
> teste e croci; per ogni testa viene emessa una particella con
> un angolo di spin pari ad alfa, per ogni croce una particella
> con angolo pari ad alfa+PI/2. L'angolo alfa e` uguale per
> tutte e scelto a caso una tantum dall'apparato stesso.
> Otterremo quindi un insieme disordinato di circa N/2
> particelle con angolo di spin alfa e N/2 con alfa+PI/2.
> Naturalmente, non c'e` esperimento al mondo che consenta di
> misurare alfa: la matrice di densita` e` perfettamente
> simmetrica.

Abbi pazienza, ma cos� a naso (ovvero per quello che � il mio approccio
"intuitivo" con lo spin) non sono riuscito a convincermi di questa tua
ultima affermazione. D'altra parte sappiamo che quando c'� di mezzo lo spin
� facile che l'intuizione faccia difetto. Cos� ho provato a fare due
conticini, e la tragedia � che essi sembrano confermare la mia intuizione.
Si vede che aspettandomi un certo risultato mi sono fatto condizionare.
Provo allora ad esporti il mio ragionamento, cos� mi dici dove sbaglio.

Dunque, supponiamo che il nostro fascio sia orizzontale, e facciamolo
passare in un dispositivo di Stern-Gerlach che ne misuri la componente dello
spin nella direzione verticale. Indichiamo con |+z> e |-z> gli
autovettori della proiezione dello spin in z.

Noi sappiamo che il tuo dispositivo prepara gli elettroni in due possibili
autostati:

1) l'autostato |+alpha> della proiezione dello spin su un versore n(alpha)
che giace nel piano perpendicolare al fascio e forma un angolo alpha con
l'asse z

  - oppure -

2) l'autostato |+(alpha+pi/2)> della proiezione dello spin su un versore
n(alpha+pi/2) che giace nello stesso piano del precedente ma forma con
l'asse delle z un angolo alpha+pi/2

Sappiamo che, in generale, se un elettrone si trova in un autostato della
proiezione dello spin lungo una direzione n(theta) che forma un angolo theta
con l'asse delle z allora la probabilit� che l'elettrone in seguito ad una
misura venga trovato nello stato |+z> �:

     P(+z|+theta) = |<+z|+theta>|^2 = cos^2(theta/2)

Nel nostro caso per� l'elettrone pu� trovarsi in due stati possibili, con
probabilit� 1/2 per ogni stato (a meno che la moneta non sia truccata),
dunque la probabilit� totale che esso venga trovato nello stato |+z> �

     P(+z) = P(alpha) P(+z|alpha) + P(alpha+pi/2) P(+z|alpha+pi/2) =
     = 1/2 cos^2(alpha/2) + 1/2 cos^2(alpha/2+pi/4)

ma

   cos(alpha/2+pi/4) = 1/sqrt(2) ( cos(alpha/2) - sen(alpha/2) )

dunque:

     P(+z) = 1/2 cos^2(alpha/2) + 1/4 ( 1 - 2 cos(alpha/2) sen(alpha/2) )
     = 1/4 ( 2 cos^2(alpha/2) + 1 - 2 cos(alpha/2) sen(alpha/2) )

Applicando le regole di duplicazione si ha poi

    sin(alpha) = 2 sin(alpha/2) cos(alpha/2)
    cos(alpha) + 1 = 2 cos^2(alpha/2)

e sostituendo:

     P(+z) = 1/4 ( cos(alpha) - sin(alpha) + 2 )

Osserviamo ora che

     cos(alpha) - sin(alpha) = sqrt(2) cos(alpha+pi/4)

quindi resta:

     P(+z) = sqrt(2)/4 cos(alpha+pi/4) + 1/2

Se dietro il dispositivo di Stern-Gerlach poniamo due rilevatori che contano
il numero N[+] ed N[-] di elettroni che, rispettivamente, finiscono nel
fascio superiore ed in quello inferiore, la frequenza relativa N[+]/N per N
grande tende asintoticamente a P(+z) e pertanto si ha

     alpha = arccos( 2 sqrt(2) ( N[+]/N - 1/2 ) ) - pi/4

Se avessi fatto bene i conti questo esperimento con un dispositivo di
Stern-Gerlach e due contatori dovrebbe dunque consentirci di ricavare
l'angolo alpha, contrariamente a questo affermi tu:

> Naturalmente, non c'e` esperimento al mondo che consenta di
> misurare alfa: la matrice di densita` e` perfettamente
> simmetrica.

Dove ho sbagliato?

A presto.
D.
Received on Sun Nov 14 2004 - 16:11:13 CET