Re: Un tappo di sughero

From: Gianmarco Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: 5 Nov 2004 11:11:04 -0800

Il 05 Nov 2004, 00:31, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha
scritto:

Il fatto che le funzioni di sviluppo non siano soluzioni non impedisce
tuttavia
di usarle per approssimare soluzioni. E' vero pero' che la gestione
dei vincoli puo' essere molto problematica in questo approccio. Per
quello dicevo occorrerebbe un trattatello. Quello che suggerisci come
vincolo aggiuntivo potrebbe risolvere il problema con minori
complicazioni? Forse ma non sono all'altezza di rispondere con
certezza.

C'e' qualcosa che mi fa dubitare della completezza del sistema, in
effetti
sono solo dubbi, mentre una parte di ragionamento mi porterebbe a
pensare
che sia completo. Provando a risolvere il problema dei vincoli trovo
che la massa concentrata implica di imporre un vincolo spigoloso,
questo porta
ad una equazione del tipo:
Sum_(k,om) f(k,om)[k^2-om^2]*exp[-i(k*x+om*t)] = a(t)
delta'(x)*f(0,t)
Questa sara' la piu' generale soluzione pari. E porta ad un sistema
invero
piuttosto complesso:

La prima equazione e':

Sum_k f(k,om) = U(om) a(om)

e' conseguenza di EQ2 e dice che
l'evoluzione temporale in zero e' dettata dall'ampiezza della
spigolosita'
per la risposta lineare dell'oscillatore armonico. La seconda
equazione
e':

[k^2-om'^2]*f(om',k) = -i k Sum_om U(om) a(om) a(om - om')

Ora le incognite sono apparentemente la funzione a(om) e la funzione
f(k,om)
Le funzioni che tu proponi risolvono questo sistema. Sono le soluzioni
piu' generali? Non lo so. Il dubbio principale ruota intorna alla
seguente
questione: E' vero che la soluzione con fasi agganciate e' il modo
piu'
generale di imporre il vincolo? In altre parole e' vero che posso
scegliere
a(om) = delta(om-om_0) ed ottenere certamente delle soluzioni
semplici.
Mentre non trovo ovvio che il moto piu' generale di moto per la massa
al centro si possa descrivere come combinazione delle frequenze om_i.

Questo perche' mentre c'e' un ragionamento legato al teorema di Stone
che mi supporta nell'ammettere come base un sistema con frequenze
come quello che hai illustrato sulla parte spaziale, e nel riconoscere
immediatamente lecita la corrispondente parte temporale come la
piu' generale. In questo caso c'e' una situazione nuova che non riesco
completamente ad inquadrare. La parte di dipendenza temporale non ha
due punti fissi. Puo' darsi tuttavia che sia sufficiente osservare
che il sistema e' invariante per traslazioni temporali.


> 1) chi ci garantisce che le sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t) con ki date da
> EQ3, costituiscono una base per la parte pari della ETA?

Il ragionamento in base al quale questo e' un buon candidato insieme
con le funzioni dispari e' che se aggiungo a questo insieme di
funzioni
l'unita' e considero intervalli compatti contenuti in -l/2 l/2 il
sistema
separa i punti su ogni intervallo compatto. Il teorema di Weierstrass
Stone dice allora che l'algebra generata da queste funzioni e' densa
rispetto alla topologia forte su ogni intervallo compatto. D'altra
parte l'unita' non compare nello sviluppo concreto di funzioni
nulle ai bordi.

> 2) come si fa, data una qualsiasi ETA(x,t=0) pari, a trovarne i coefficienti
> Ai dello sviluppo nelle sin[ki(abs(x)-l/2)]?

Se verifichi che questa e' una base, puoi impostare
un'ortogonalizzazione
di Gram-Smith ad esempio. I problemi pratici derivano pero' dalla
procedura di ortogonalizzazione che mi difficile da risolvere
iterativamente in modo consistente.
Ciao.


> Ciao.
Received on Fri Nov 05 2004 - 20:11:04 CET