Re: Un tappo di sughero

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Fri, 05 Nov 2004 20:35:31 +0100

Bruno Cocciaro ha scritto:
> Le equazioni del moto sono:
> -mu _at_^2ETA(x,t)/_at_t^2+T @^2ETA(x,t)/_at_x^2=0 (EQ1)
> e
> M _at_^2ETA(0,t)/_at_t^2-2T ( @ETA(0+,t)/_at_x - @ETA(0-,t)/_at_x)+K ETA(0,t)=0
> (EQ2).
> ...
> Passando ad imporre EQ2 otteniamo che per i valori pari di i le
> ETAi(x,t) soddisfano l'equazione essendo nulli tutti e tre gli addendi
> che compaiono a sinistra di EQ2. Cioe' le funzioni dispari della base
> suddetta soddisfano alle equazioni del moto.
OK, pero' va anche detto che con questa soluzione la massa M non si
muove.
Insomma, hai scoperto che se la corda haun nodo dove c'e' la massa, e
come se questa non ci fosse...

> ...
> In breve le ETAi con i dispari (cio� le funzioni pari della base) *non
> risolvono* EQ2.
D'accordo amche su questo.

Ne segue che la generica ETA(x,t) deve essere intanto vista come somma della
sua parte pari+ parte dispari. Per la parte dispari come base vanno
benissimo le ETAi (con i pari) viste sopra.

> Per la parte pari si deve trovare un'altra base. La base proposta da
> me e' la seguente:
> ETAi(x,t)=sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t).
D'accordo: continua in x=0 ma con derivata discontinua.

> Imponendo EQ1 ed EQ2 si trovano le ki ammesse:
> cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(k/2)-(K/T)*(1/(2*k)) (EQ3).
> Quindi in totale le ki ammesse sono quelle che risolvono la EQ3 (che
> servono a definire le funzioni che danno la base per la parte pari
> della ETA) oltre alle ki=i*pigreco/l con i pari (che servono a
> definire le funzioni che danno la base per la parte dispari della
> ETA).
Perfetto, a parte che a secondo membro della EQ3 k doveva essere ki.

> Si pongono comunque (almeno ai miei occhi) i problemi di cui parlavo
> qualche post fa:
> 1) chi ci garantisce che le sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t) con ki date
> da EQ3, costituiscono una base per la parte pari della ETA?
> 2) come si fa, data una qualsiasi ETA(x,t=0) pari, a trovarne i
> coefficienti Ai dello sviluppo nelle sin[ki(abs(x)-l/2)]?
Prima di tutto la relazione di ortogonalita'.
Si scrive cosi':

\int_0^{l/2} EXi(x)*EXj(x) dx + (M/(2*mu))*EXi(0)*EXj(0) = 0

(la dipendenza da t non va considerata nell'ortogonalita).

Questo fa capire quale sara' la risposta alla domanda 2):
sia f(x) una generica funzione pari: avrai
f(x) = \sum ci*EXi(x) (+)
con
ci = \int_0^{l/2} f(x)*EXi(x) dx + sqrt(M/(2*mu))*f(0)*EXi(0)

(A meno di qualche costante di normalizzazione, che non ho calcolato...).
La (+) va dimostrata: se vale dimostra la completezza della base.
Non ci ho provato, ma dovrebbe essere vero.

Poi bisognerebbe riprendere il filo... Perche' avevo proposto questo
conto?
                                 

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Nov 05 2004 - 20:35:31 CET