Re: SOS

From: strings <alonzopatonzo_at_libero.it>
Date: Fri, 29 Oct 2004 23:19:18 GMT

> > questo caso non � generale ma vale solo in caso particolare e cio�
quando
> > l'autovalore b(n) di B ha un grado di degenerazione uguale a
> > quello di a(n) autovalore di A.
> uguale o maggiore... vedi sotto.
>
Secondo me non pu� essere maggiore.

Mi sa che per il fatto che non � possibile usare la simbologia della
matematica in modo corretto si sta creando un p� di confusione.
Allora facciamo cos� per rendere pi� chiaro il mio ragionamento (almeno
spero)sviluppo un caso "pseudoconcreto".
Per prima cosa considero il caso di autovalori discreti e autospazi di
dimensione finita (in pratica faccio come fa il Cohen)

Ho due osservabili A e B che commutano (ipotesi del teorema).
Mi prendo un autovalore a di A e e suppongo che ha un grado di degenerazione
g=5.
Questo significa che esiste una base formata da 5 autovettori di A che
chiamo u1,u2,..,u5.
L'autospazio relativo, V, ha dimensione 5

 Il mio problema e trovare gli autovettori di B e vedere se ci sono fra
questi anche autovettori di A
perch�, (dice il Cohen) non � detto che u1,...u5 siano essi stessi anche
autovettori di B.

So che comunque prendo un vettore nel'autospazio V questo � sempre
autovettore
di A.(questa cosa la usiamo dopo)

Prendo la base u1, u2, ...u5 e mi scrivo la matrice che rappresenta B.
Ottengo una matrice 5x5.
Si pu� dimostrare, usando l'ipotesi che B � una osservabile, che questa
matrice � hermitiana.

Fin qu� credo di non aver detto sciocchezze.

Ora vengo al punto

Vado a diagonalizzare questa matrice.
 Per fare questo devo risolvere l'equazione caratteristica che � un
polinomio di grado 5 .
Dunque si possono avere i seguenti casi (sto nel campo complesso):

 5 radici distinte : b1, b2,...b5

2 radici distinte per esempio b1 contata una volta e b2 contata 4 volte

ecc. ecc.

una radice b contata 5 volte .

Una volta che ho trovato gli autovalori di B costruisco gli autospazi.

Allora supponiamo che trovo un solo autovalore di B con grado di
degenerazione 5.
Esendo B hermitiano gi� so che l'autospazio ha dimensione 5. Quindi trovo 5
autovettori
di B che chiamo y1, y2,..y5. Questi generano uno spazio che � lo stesso di V
(quello legato ad a di A) Allora anche gli autovettori u1,...u5 sono
autovettori di B.

In questo modo ho trovato gli autovettori comuni ad A e B.

Io in un primo momento pensavo solo a questo caso e quindi non capivo
l'affermazione
del Cohen quando diceva che non sempre gli autovettori u1, u5 era anche
autov. di B.

Questo punto corrisponde a quel (che dicevo nel precedente post) caso
particolare che capita solo
 se il grado di degenerazione di b coincideva con quello di a. E dunque non
pu� essere
superiore, ma solo inferiore. Perch� al pi� posso avere una sola radice
contata 5 volte.

Ora se suppongo per esempio di avere 2 autovalori b1 e b2 il primo non
degenere
e il secondo con g=4 vuol dire che avr� due autospazi:

uno S1 con dim 1 con base y1

e l'altro S2 con dim 4 e base h1,..h4

ora questi vettori sono vettori di V e dunque sono anche autovettori di A.
Invece (corregetemi su questo che a quest'ora non sono sicuro:-) i vettori
u1 ecc non appartengono ai due sottospazi S1 e S2.
(Se non sbaglio con S1 ho costruito una CSCO ma questa � unaltra storia)

Resterebbe l'estensione al caso infinito, ma il Cohen non l'ho fa e non l'ho
faccio neanche io:-))

Credo che il mio ragionamento funzioni spero perlomeno di essere stato
chiaro in modo tale che se ho fatto orrori mi possiate correggere in modo
(come dice Bush:-) chirurgico

Un saluto a tutti (ora vado a dormire)
Received on Sat Oct 30 2004 - 01:19:18 CEST