Il 30 Ott 2004, 11:00, "Antonella Capuano" <antonella_capuano_at_yahoo.it> ha
scritto:
> Ho letto un post in cui si parlava del raggio di Bohr e di come lo si
> ricavava, e la soluzione era :
>
> r = (h^2)/ (m * e^2)* n^2
>
> r = raggio
> h = costante di Plank 6,626 * 10 (-34)
> e = carica dell`elettrone 8,199 * 10 (-14)
> m = massa dell`elettrone 9,11 * 10 (-31)
> n = numero quantico (a cui ho assegnato il valore 1 )
>
> per curiosita`ho provato a fare il calcolo, ma non mi viene quel
> 53 che mi aspettavo dovesse venire. Probabilmente sbaglio a fare i conti
> oppure i valori che ho scritto sopra sono sbagliati.C`e`qualcuno di
> buona volonta`che mi possa far vedere il calcolo in tutti i vari
> passaggi ?
Si parte con l'hamiltoniana:
-h^2/2m lap^2 - alfa/r
di cui si cercano gli autovalori per gli stati legati, quindi con E<0
in questa equazione -alfa/r e' l'energia potenziale di un elettrone nel
campo di un protone. Quindi alfa e' k e^2. La costante k e' necessaria
perche' nel sistema MKSA la forza elettrostatica diversamente che nel
c.g.s. richiede una costante: k = 1/4pi eps_o. Questa costante, dove compare
la famigerata costante dielettrica del vuoto, un residuato del tempo in
cui si postulava che il vuoto fosse in verita' un etere del quale si misura
la permeabilita', puo' essere valutato come il coefficiente da anteporre
al Coulomb per ottenere la forza fra due Coulomb alla distanza di un
metro. Il Coulomb e' nel sistema internazionale una grandezza derivata
dell'Ampere. Siccome l'Ampere e' la quantita' di carica che passando
nell'unita'
di tempo in due fili posti alla distanza di un metro genera una forza di
Ampere
di 2*10-7 N, e siccome la forza di Ampere si esprime come 2k/c^2 II'/d
dove I ed I' sono le correnti nei fili e d la distanza, c la velocita' della
luce, mentre k e' la costante di forza relativa alla quantita' di carica che
scorre
nell'unita' di tempo per generare l'Ampere, risulta che k = 10^-7/c^2.
Per ricordare tutto occorre memorizzare due cose: il rapporto fra la
costante
di forza di corrente e la costante di forza di carica e' il quadrato della
velocita'
della luce. La forza fra due ampere alla distanza di un metro e' 10^(-7)
Newton.
Detto questo riscriviamo l'equazione agli autovalori:
lap^2 + 2m/h^2[E+k e^2/r]
dove ora e risulta essere la carica espressa in Coulomb.
Questa carica vale 1.602*10^(-19) Coulomb. A questo punto
si osserva che con la scelta di unita' di massa, lunghezza e
tempo opportune l'equazione si puo' ridurre alla forma:
[lap^2 + 2(E+1/r)]f = 0
queste unita' a conti fatti risultano:
m per la massa.
h^2/[m k e^2] per la lunghezza.
h^3/(m k^2 e^4) per il tempo.
L'unita' di lunghezza e' quella che chiamiamo raggio di Bohr.
Se sostituisci i valori:
r = raggio
h = costante di Planck 6,626 * 10 (-34) J*s
e = carica dell`elettrone 1.602 * 10 (-19) C
m = massa dell`elettrone 9,11 * 10 (-31) Kg
n = numero quantico (a cui ho assegnato il valore 1 )
k = 9 * 10^(9) N*C^(-2)*m^2
trovi r = 5.9 * 10^(-11) m
Noto che sqrt(k) e = 1.52 * 10^(-14) N^(1/2) * m
che diventa uguale alla grandezza che indicavi tu
per la carica se moltiplico per sqrt(30). Che e' come
usare k = 27 * 10^(10) N. Non so da dove sbuca quel
numero, forse da qualche errore nella derivazione della costante
k dalla velocita' della luce, io per ricordare k mi ricordo il fatto
impressionante che due Coulomb a distanza di un metro esercitano
uno sull'altro una forza di 9 * 10^9 Newton. Ovvero che a distanza
di un chilometro esercitano una forza di 9 kN che sono circa 1 tonnellata.
> Grazie
>
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Received on Sun Oct 31 2004 - 21:30:24 CET