Re: ma che volevi dire feynman?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 19 Oct 2004 21:35:57 +0200

lux ha scritto:
> a pag 113 [di QED] c'e' scritto:
>
> "un fotone,..., ha un'ampiezza di probabilita' di andare da un punto A
> ad un punto B dello spazio tempo che e' indicata da F(A,B) ed e'
> espressa da una formula che dipende solo dalla differenza di posizione
> (X2 - X1) e dalla differenza di tempo (T2 - T1). in effetti e'
> semplicemente l'inverso della differenza dei loro quadrati, cioe'
> dell'intervallo I che puo' essere scritto (X2 - X1)^2 - (T2 - T1)^2".
>
> bene, fey qui sta parlando di una funzione di green dell'equazione di
> klein-gordon a massa nulla, o se vogliamo dirla in un altro modo di
> una soluzione a simmetria iperbolica della suddetta equazione, infatti
Nel caso non lo sapessi, la "eq. di K-G a massa nulla" e' anche nota
come "eq. di d'Alembert". E' venuta alquanto prima di quella di K-G...

> (d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) F(t,x,y,z) = 0
>
> F(t,x,y,z) = F(I) = 1/(x^2 + y^2 + z^2 - t^2)
Ti correggo: una f. di Green (*qualunque* f. di Green) non e' soluzione
di un'eq diff. omogenea, ma di un'eq. che a secondo membro ha una
delta.
Basta ricordare che serve a esprimere in forma generale la solusione
dell'eq. con secondo membro assegnato (in modo ovvio) oppure (in modo
meno ovvio) la soluzione dell'eq. omogenea con date condizioni
al contorno.

Quella che hai scritto per F e' un'espressione priva di senso (importa
poco se la scrive Feynman in QED; non la scrive di certo nei libri
seri ;-) ).
Una f. di Green va interpretata come distribuzione, per cui quella
scrittura e' comunque incompleta: occorre dare una prescrizione su
come la distribuzione agisce sulle funzioni di prova.
In termini piu' spicciativi (oserei dire "da ingegneri") bisogna dire
come si comporta nei pressi della singolarita', e questo si puo' fare
in infiniti modi.
Infatti se aggiungi a F una qualsiasi soluzione dell'eq. omogenea, hai
ancora una f. di Green "buona"...

> come si collega tutto cio' alla teoria dei campi?
>
> in teoria dei campi si definisce il propagatore per una particella
> scalare a massa nulla come:
>
> D(A,B) = <0|T[f(B)f(A)]|0>
>
> T[f(B)f(A)] = f(B)f(A) se t_B > t_A
>
> = f(A)f(B) se t_A > t_B
>
> che e' diverso da F. (D si chiama: propagatore di feynman :-))
>
> usare F al posto di D non cambia la fisica?
Certo. Infatti quella giusta e' la D.

Michele Andreoli ha scritto:
> Aspettando che gli esperti (quelli veri, quelli buoni) rispondano,
> intanto qui ci vorrebbe una delta di Dirac al secondo membro, non uno
> zero.
Giusto.

> A meno che tu non sia gia' con i quadrimpulsi, ed allora ci vuole un 1
> a secondo membro.
Sulla TdF, tra poco.

> Quel che so io e' che la funzione D(x,t)=<0|T f(x,t)f(x0,0)|0>,
> soddisfa "quasi" la stessa equazione cui soddisfa f(t) ma, a causa
> dell'ordinamento temporare T, nel secondo membro si produce una
> funzione delta; che e' quello che si vuole per avere una funzione di
> Green.
Come ho gia' detto, l'equazione e' la stessa.

lux ha scritto:
> ...
> Per quanto riguarda la trasformata di Fourier di F sai benissimo che
> se non definisci l'insieme di integrazione l'espressione che hai
> scritto e' priva di senso.
Come ho gia' detto, occorre *in ogni caso* definire bene la f. di
Green come distribuzione.
Quello che chiami "insieme d'integrazione" e' un espediente per fare
questo.

Facciamo un esempio molto piu' semplice. Poi non so se avro' tempo e
voglia di descrivere per bene il caso che interessa...)
Abbiamo l'equazione

F'(x) = delta(x) (1) (equazione tra distribuzioni!)

Trasf. di Fourier:

-ik*G(k) = 1 (chiamo G la TdF di F).

G(k) = i/k + c*delta(k).

Il secondo termine e' necessario per dare l'integrale generale
dell'equazione. Lascio a voi di verificare che l'antitrasformata di G
e' appunto la soluzione generale della (1).

Al variare di c (costante complessa) si possono ottenere infinite f.
di Green, di cui 3 hanno espressioni semplici:
1) la "parte principale"
2) la delta+
3) la delta-

Pensate come applicate a una funzione di prova che sia analitica fuori
dell'asse reale, la 2) e la 3) corrispondono a scelte del cammino
d'integrazione sopra o sotto al polo in k=0 (oppure sotto o sopra? non
me lo ricordo...).

Nel nostro caso la TdF mostra una 1/(w^2 - k^2) piu' un termine
"omogeneo" che e' una comb. lineare di delta(w-k) e di delta(w+k) (k e'
il modulo 3-dim. del vettore).

Antitrasformando, l'integrale su k vettore si fa senza problemi, e
resta l'integrale su w.
Scegliendo i coefficienti delle delta, si hanno 3 soluzioni interessanti:

1) la soluzione ritardata R, che corrisponde ad aggirare i due poli (in
k e in -k) dal disopra.
2) la soluzione anticipata A, che corrisponde ad aggirare i poli dal
disotto.
3) la soluzione di Feynman F, che aggira -k da sotto e +k da sopra.

Espressioni esplicite:

R = -delta(r-t/(4*pi*r)

A = -delta(r+t)/(4*pi*r)

F = -delta+(t^2 - r^2)/(2*pi).

La caratterizzazione fisica di F e' che per t>0 contiene solo
frequenze positive, per t<0 solo frequenze negative.

P.S. Questa roba la insegnavo oltre 30 anni fa nel corso di Fisica
Teorica. Se non avessi trovato una preziosa paginetta di miei appunti,
intitolata "Funaioni di Green dell'eq. di d'Alenbert", col cavolo che
avrei potuto scrivere quanto sopra...
                                      

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Oct 19 2004 - 21:35:57 CEST