"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> wrote in message
news:ckekgs$2rpj$3_at_newsreader1.mclink.it
Sta di fatto che mi sembra che la
> > complessificazione dell'algebra di un gruppo sia proprio l'algebra del
> > gruppo complessificato quando questo puo' essere definito.
> Che ne diresti di prendere una parametrizzazioen del gruppo (con
> coordinate reali) e farne un "prolungamento analitico", sostituendo le
> coord. reali con coord. complesse?
Ne dico che: da un lato la difficolta' del problema di definire la
complessificazione e' ricondotta a quella di definire una
parametrizzazione analitica. Dall'altro forse c'e' del tautologico nel
procedere a questo modo se questo riesce e si perderebbe un poco
dell'informazione sulla struttura concreta dei gruppi. In effetti una
parametrizzazione naturale e' quella esponenziale per i gruppi che siano
esponenziali, ed a questa o a sue varianti avevo pensato anch'io
(ricordo che per esempio SL(2,C) non e' un gruppo esponenziale).
Ora la parametrizzazione esponenziale applica elementi dell'algebra
in elementi del gruppo, ed elementi dell'algebra complessificata
in elementi del gruppo che ora per definizione risulta complessificato.
Pero' SL(2,C) non e' esponenziale ed e' gia' complessificato dal mio
punto di vista: e' la complessificazione di SL(2,R).
> Voglio dire: se x sono le coord. reali, definite in una insieme X, la
> tabella di moltiplicazione si esprimera' come una funzione XxX --> X:
> f(x,x') sono le coord. del prodotto dell'elemento di coord. x per
> quello di coord. x'.
E' difficilissimo questo modo di procedere che proponi.
Cioe' come fai a trovare una funzione analitica che rappresenta
tutto un gruppo di Lie in generale? Ad esempio forse puoi parametrizzare
le isometrie di S^2: formano un gruppo isomorfo ad SO(3) che ha
una rappresentazione esponenziale (pure se con topologia non
semplicemente connessa), ma sei sicuro che si possa agevolmente
parametrizzare il gruppo delle isometrie di un iperboloide mediante
una funzione analitica e poi con che topologia in generale? Secondo me
occorre per lo meno sapere un poco di cose sulle superfici di Riemann
e non solamente.
> Ora sostituisco x con z (complesse) e la f(x,x') col suo prolungamento
> analitico f(z,z').
Fin
che
la
barca
va.
> > ...
> > Provo a studiare un poco di situazioni per vedere se la nebbia si
> > dirada: torno ad SO(2) la complessificazione dell'algebra di SO(2) e'
> > l'insieme delle matrici complesse antisimmetriche due per due. Se
> > considero solo la sezione reale dell'algebra ritrovo SO(2) come
> > sottogruppo dell'inviluppo dell'algebra complessificata e poi trovo un
> > gruppo strano che somiglia ad SO(1,1) ma ha una forma differente.
> > Questi sono sottogruppi del gruppo generato sostituendo all'argomento
> > della parametrizzazione trigonometrica di SO(2) un numero complesso.
> > Ora Cos(ia) = cosh(a) e Sen(ia) = - i senh(a).
> > In questo caso l'esponenziale si scrive in forma chiusa facendo
> > ricorso alle funzioni trigonometriche complesse. E mi sembra che non
> > abbiamo guadagnato particolari vantaggi ma perche' la dimensione di
> > questo gruppo e' uno.
> Col metodo proposto sopra, SO(2) (ovvero U(1)) si parametrizza con x
> (mod 2pi) e la legge di composizione e' la somma: f(x,x') = x + x' (mod
> 2pi).
E' vero, tu col tuo metodo puoi complessificare anche U(1)
mentre per come avevo inteso io la complessificazione risulta
che U(1) e' gia' complessificato.
> Ora consideriamo il gruppo definito da f(z,z') = z+z' (mod 2pi).
> Posto z = x+iy, z' = x'+iy', abbiamo
> f((x,y),(x',y')) = (x+x' mod 2pi, y+y').
> Dunque il gruppo complessificato e' il prodotto diretto di SO(2) per
> SO(1,1) (o qualunque altro travestimento di SO(1,1): per es. R^+).
E' quello che mi aspettavo di trovare facendo la
complessificazione. Per l'esattezza mi aspettavo di trovare il
prodotto diretto di una struttura isomorfa ad U(1) con una struttura
isomorfa ad R+, e questo e' quello che in effetti trovo anch'io.
Tuttavia il prodotto diretto si trova solo in questo caso, mentre
nel caso generale il fatto che l'algebra non sia abeliana non
permette di separare la parte immaginaria dalla parte reale.
Inoltre contrariamente a quanto ha scritto Winston Smith, non era mia
intenzione cercare un controesempio dell'asserzione:
"l'algebra del complessificato coincide con la complessificazione
dell'algebra", quanto invece comprendere quale fosse la portata generale
della sua affermazione che la complessificazione
dell'algebra di SO(1,3) conduce all'algebra di due copie del
rivestimento
universale di SO(1,3).
Questo fatto dava infatti una speranza che si trattasse di un
fatto generale che permettesse di ridurre sempre la complessificazione
di un gruppo reale ad un prodotto diretto. A riconsiderare la questione
mi ero convinto che fosse una circostanza molto particolare dovuta al
fatto che la complessificazione dell'algebra di SO(1,3) si riduce alla
complessificazione della somma diretta di due algebre identiche.
Ed avevo concluso che la complessificazione di SO(3) portasse
ad un esempio di algebra "irriducibile": ovvero all'algebra
reale sl(2,C) isomorfa a C*su(2). Con un solo generatore la
questione era del tutto ovvia. Infatti davvero la parte reale
e la parte immaginaria commutano e sono quindi in somma diretta.
Ora ci sto ripensando, avevo forse sottovalutato il fatto che
l'automorfismo di coniugio che si usa per definire le algebrette di
momento angolare esiste sempre. Quindi arrivo a questa osservazione:
se sono in presenza di un'algebra di Lie:
a) priva di cariche centrali
b) con N generatori
c) con costanti di struttura reali fra i suoi elementi: f_ijl
allora posso tentare di ottenere un set di N generatori
indipendenti dell'algebra complessificata che commutano con
altri N generatori indipendenti imponendo che le combinazioni lineari
z_jl A^l e z*_kl A^l siano indipendenti e che
per ogni l,j,k risulti z_jm z*kn f_mnl = 0
Abbiamo quindi N forme antisesquilineari e cerchiamo un
set di N vettori che formino una base ortogonale simultanea
rispetto a tutte queste forme e che siano a norma nulla.
Se questo problema ammette sempre soluzione allora il complessificato
di un gruppo e' sempre localmente isomorfo al prodotto diretto di
due copie di uno stesso gruppo che risultano legate dall'isomorfismo
indotto dall'automorfismo dei complessi. E' evidente che se un
controesempio esiste fra i gruppi reali va costruito con un poco di
arte e mi sembrava di averlo trovato nell'algebra del momento angolare.
Pero', ripeto, ci sto ripensando.
> Perche' dici "gruppo strano che somiglia a SO(1,1) ma ha una forma
> differente"?
Chiamo S1,S2,S3 le tre matrici di Pauli.
SO(1,1) lo parametrizzo con cosh(a) + senh(a) S3
mentre l'esponenziale di a i S2 (essendo i S2 il generatore
della rotazione infinitesima di SO(2)) e'
cosh(a) + senh(a) S2. Questo non e' SO(1,1) infatti e' definito
facendo ricorso anche a numeri immaginari. In altre parole sembra
a prima vista che non conservi la metrica di matrice S3 .
Tuttavia a conti fatti: la matrice rappresentativa per
questa metrica conservata e' tale che S2^t M = - M S2.
(dove S2^t e' il trasposto). E questa M e' proprio S3. Quindi la
condizione metrica si scrive proprio allo stesso modo come per SO(1,1)
ma le matrici non hanno determinante uno e non sono reali, dunque non
e' SO(1,1) pure se ne e' un isomorfismo.
Cio' non toglie che cosh(a) + senh(a) S2 sia isomorfo con
R^+ e che la struttura di gruppo additivo di C sia applicata
nella struttura di gruppo moltiplicativo di SO(2,C).
> > ...
> Piu' oltre mi sono perso.
Piu' oltre dicevo che la complessificazione di O(3)/Z2 conduce
ad un gruppo isomorfo al gruppo di Lorentz. Mentre la
complessificazione di altri gruppi ortogonali speciali non
conduce a strutture pseudoeuclidee immediatemante riconoscibili,
inoltre che la complessificazione di SL(2,C) conduce ad un
oggetto isomorfo con SL(2,C) x SL(2,C) e che questa e' una proprieta'
speciale di SL(2,C).
> (Tetis, ho capito chi sei: "agnosco stilum", come disse fra' Paolo
> Sarpi :-) )
>
> > Todo passa, nada passa (non proprio gattopardesco).
> Mi sa che si dice "pasa", con una sola "s".
passa e' una parola italiana
pasa, che e' una parola
spagnola, non ha
lo stesso significato. La correzione sarebbe legittima se
non avessi voluto mescolar le lingue.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Oct 16 2004 - 18:21:40 CEST