Re: Algebre di Lie del gruppo di Lorentz e di SU(2)

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Sun, 17 Oct 2004 18:28:36 +0000 (UTC)

"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> wrote in message
news:ckekgs$2rpj$3_at_newsreader1.mclink.it

Poche brevi osservazioni a sintesi della lunga mail di ieri:
mi sto convincendo che la tua proposta di parametrizzazione
ed estensione ha dei buoni motivi dalla sua parte: permette
immediatamente di identificare l'estensione analitica con
il gruppo complessificato. Implica che sia immediamente
vero che l'algebra complessificata e' l'algebra del gruppo
complessificato.

Per contro abbisogna di una solida teoria di supporto: occorrerebbe
mostrare l'analiticita' della funzione moltiplicativa, e rispondere
alle questioni connesse con la topologia delle estensioni analitiche.
Inoltre occorrerebbe studiare tutti i nessi fra l'estensione costruttiva
ingenua per le rappresentazioni in termini di matrici reali e le
estensioni analitiche.

> Perche' dici "gruppo strano che somiglia a SO(1,1) ma ha una forma
> differente"?

Confermo che quello che sortisce dall'estensione della parametrizzazione
trigonometrica di SO(2) non e' SO(1,1) inteso come sottogruppo di
SL(2,R). E' un sottogruppo isomorfo ad SO(1,1) di matrici complesse
con determinante uno che conservano la metrica pseudo euclidea.
Infine ho ristudiato la questione posta "colposamente" da Smith sulla
base dell'impostazione che proponevo ieri.

Mi sembra di essere arrivato alla conclusione che non e' generalmente
vero che l'estensione complessa di un'algebra di Lie si possa esprimere
come somma diretta di due algebre identiche che commutano. Mi sembra
di essere arrivato alla conclusione che C*so(3) come C*su(2) che sono
algebre isomorfe una all'altra non possono essere riarrangiate in
algebre che commutano. Questo appare controintuitivo perche' entrambe
sono isomorfe all'algebra reale sl(2,C) che ammette un riarrangiamento
complesso come somma diretta di su(2) con su(2). Pero' il punto e'
che l'algebra sl(2,C) isomorfa all'algebra C*so(3) e' chiusa per
combinazioni reali che sono immagine delle combinazioni complesse di
C*so(3). E' la complessificazione dell'algebra reale sl(2,C) che
contiene su(2)+su(2) come sottoalgebra reale. Mentre questa algebra
non e' contenuta in C*su(2). Studiando questo gruppo: C*su(2)
ho notato che emerge un riarrangiamento che "massimizza la
diagonalita'" ovvero la componenti che commutano dell'algebra:
una e' data da S3 ed i S3, l'altra parte e' data da
S1+iS2,S1-iS2,iS1-S2,iS1+S2. Mi chiedevo se questa struttura
ha una qualche rilevanza nella riparametrizzazione del gruppo
di Lorentz.

Ultima osservazione sulla domanda posta di Winston Smith: mi
sembra corretta l'osservazione che con SO(1,1) si intenda in
questo contesto la sola componente del gruppo che e' connessa
con l'identita' e quindi il gruppo ortocrono. Mentre mi sembra
che con R^+ si possa intendere tanto il gruppo moltiplicativo dei
reali positivi, quanto il gruppo additivo dei reali. Questi gruppi
sono isomorfi.



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Received on Sun Oct 17 2004 - 20:28:36 CEST

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