Re: deviazione standard della media

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 04 Oct 2004 20:56:06 +0200

Michele Giordano ha scritto:
> Ho delle perplessit� sulla deviazione standard della media, che mi
> sembra un gioco di prestigio matematico (mi riferisco alla
> dimostrazione data, per esempio, dal Taylor, "Introduzione all'analisi
> degli errori").
Premetto che non ho mai letto il Taylor, anche se so che e' una specie
di bibbia in materia...
Quindi dico la mia opinione, senza sapere se e quanto concordera' con
quella della "bibbia" ;-)

> Io penso che la deviazione standard esprima sensatamente il concetto
> di "sparpagliamento" in una distribuzione di misurazioni, ma purtroppo
> essa non pu� essere assunta come incertezza della misura perch� �
> indipendente dal numero di misurazioni, il che � piuttosto
> imbarazzante.
Su questo ci sarebbe da discutere, ma non e' essenziale, qundi
tralascio.

> Per questa ragione � stato necessario escogitare un modo alternativo
> per esprimere l'incertezza di una misura in modo che essa sia funzione
> [1] dello sparpagliamento e [2] del numero di misure. La deviazione
> standard della media, appunto, cio�:
>
> DSM = DS / N^(1/2)
>
> Non mi sembra che ci sia alcuna necessit� fisica in tutto ci�, vale a
> dire che forse, tanto per dire,
>
> DSM = DS / N^(2/3)
>
> potrebbe andare altrettanto bene. Mi sembra solo una questione
> euristica.
> Sono fuori strada?
A parte che usi "euristico" in modo sbagliato (come del resto e'
frequente tra i fisici ... un po' ignorantelli anche se in cattedra :)
a volte).
A parte questo, si': sei fuori strada, perche' la definizione di DSM
e' un teoremino di calcolo delle probabilita'.
Diciamo che a me torna meglio parlare di sqm (scarto quadratico medio)
piuttosto che di "deviazione standard"; il ragionamento e' questo.

Si assume che ogni misura sia una variabile casuale, con una certa
legge di distribuzione, che non e' necessario conoscere per il
seguito.
Si assume poi che le diverse misure siano variabili indipendenti con
la stessa distribuzione.
Per una var. casuale X la varianza e' *per definizione*:

Var(X) = E([X - E(X)]^2)

e si dimostra che vale anche

E(X^2) - E(X)^2

ma questo ora non importa. Lo sqm e' - sempre per definizione - la
radice quadrata della varianza.

Se ho n var. casuali come sopra: X1 ...Xn,
la media e' definita da

M = (X1 + ... + Xn)/n.

Dopo di cio', e' solo questione di un po' di algebra dimostrare che

Var(M) = Var(X) / n,

da cui

sqm(M) = sqm(X) / N^(1/2).

Piuttosto, da qualche parte troverai che e' meglio calcolare lo sqm
della media dividendo per (N-1)^(1/2) invece che per N^(1/2).
Ma questo ora non te lo spiego, per non complicare le cose...
                                

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Oct 04 2004 - 20:56:06 CEST