Recuperando i messaggi di quest'estate (periodo nel quale non ho potuto
seguire il newsgroup) ho letto un interessante thread tra Elio Fabri e
Gianmarco Bramanti sulle rappresentazioni dei gruppi di Lie.
Nella discussione veniva sollevato, tra gli altri, il problema di come
l'algebra di Lie del gruppo di Lorentz si possa mettere in
corrispondenza con quella di SU(2), e mi sembra che questo discorso sia
rimasto in sospeso. Siccome recentemente ho avuto modo di studiare un
po' queste cose forse posso chiarire la questione.
Premessa: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sui reali.
L'insieme C dei numeri complessi � a sua volta, banalmente, uno spazio
lineare sui reali di dimensione 2. Possiamo allora formare il prodotto
tensoriale C * V (qui e nel seguito indico con * il simbolo di prodotto
tensoriale, cio� il per nel circoletto), che sar� uno spazio lineare di
dimensione 2n sui reali. Possiamo poi definire un prodotto tra numeri
complessi e elementi di C * V ponendo
w (z * v) = (wz) * v
per ogni w,z in C e v in V. Quindi C * V si pu� vedere anche come uno
spazio lineare i cui elementi sono gli stessi di V, ma in cui ha senso
prendere combinazioni lineari a coefficienti complessi. Questo spazio si
dice la complessificazione di V e ha dimensione *complessa* n (pari alla
dimensione reale dello spazio di partenza V).
Stabilito ci�, veniamo al gruppo di Lorentz proprio ortocrono, che
chiamo SO(1,3). La sua algebra di Lie so(1,3) si ricava con metodi
standard e consiste nello spazio lineare reale delle matrici 4x4
"antisimmetriche" (nel senso della metrica Minkowskiana); essa ha
dimensione (reale) 6. Una sua base molto usata � quella formata dai tre
generatori delle rotazioni attorno agli assi spaziali R_k e dai tre
generatori dei boost lungo le medesime direzioni B_k (k=1,2,3).
Mettiamoci ora nella complessificazione di tale algebra, C * so(1,3).
Qui hanno senso, come detto, le comb. lin. a coefficienti complessi,
quindi possiamo definire una nuova base data dalle matrici
T_k = 1/2 (R_k + i B_k)
T'_k = 1/2 (R_k - i B_k)
Si constata che i T e i T' soddisfano separatamente delle regole di
commutazione del tipo
[T_i,T_j] = epsilon_ijk T_k
che sono proprio quelle che definiscono l'algebra di Lie su(2). Inoltre
ciascun T commuta con ciascun T'; questo mostra che l'algebra C *
so(1,3) � isomorfa alla somma diretta di due copie di su(2), o meglio
alla loro complessificazione dato che anche su(2) �, per nascita,
un'algebra di Lie reale (infatti � data dalle matrici 2x2 complesse
anti-hermitiane a traccia nulla; ci si rende conto facilmente che questo
spazio � chiuso per combinazioni lineari reali, ma non per comb. lin.
complesse).
Dunque l'isomorfismo sussiste tra C * so(1,3) e la somma diretta
C * su(2) + C * su(2). In genere per� le complessificazioni vengono
sottintese; questo modo di procedere non � ambiguo, perch� si dimostra
che se D � una rappresentazione complessa di un'algebra di Lie reale V,
esiste un'unica rappresentazione complessa D' di C * V che coincide con
D sugli elementi reali di C * V; questa rapp. si dice l'estensione
olomorfa di D. (Per chi si chiedesse com'� definita, nella maniera
ovvia: D'(X + iY) = D(X) + i D(Y).)
Per finire, un punto che non mi � del tutto chiaro: abbiamo detto che
su(2) � l'algebra delle matrici 2x2 anti-hermitiane e a traccia nulla.
Se la complessifichiamo, il requisito di anti-hermitianit� cade e
rimaniamo con l'algebra di Lie delle matrici 2x2 a traccia nulla; quindi
C * su(2) = sl(2,C). Ne segue che C * so(1,3) � isomorfa a due copie di
sl(2,C). Quello che non ho ancora capito � se questo c'entri qualcosa
con il fatto che SL(2,C) (stavolta il gruppo, non l'algebra) � il
ricoprimento universale di SO(1,3)...
--
ws
Received on Mon Oct 04 2004 - 21:47:32 CEST