Re: L'elettrone non ha struttura interna?

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 03 Oct 2004 21:02:46 +0200

Tetis ha scritto:
> Mi rimane una curiosita' a cui non mi riesce di trovare
> una risposta: consideriamo un sistema non integrabile
> possiamo dire qualcosa circa la cardinalita' dei livelli
> energetici? Se partiamo da un sistema integrabile e lo
> perturbiamo cosa succede?
Quante domande...
Cominciamo dal caso semplice in cui gli insieni di livello
dell'energia potenziale sono compatti, anche dopo la parturbazione.
Allora direi che i livelli restano numerabili, ma non so se saprei
dimostrarlo.

Pero' le cose possono essere complicate...
Pensa gia' al caso banale di un oscillatore armonico bidimensionale
anisotropo, con frequenze in rapporto irrazionale.
Allora puoi "labellare" i livelli con i due n. quantici per i due assi,
e avrai
E = n1*w1 + n2*w2 (a meno di costanti inessenziali).
Ovviamente l'insieme dei livelli e' numerabile, ma se cerchi di
numerarli in ordine crescente (E1<E2<...<En...) la relazione tra n e
(n1,n2) e' assai incasinata.

> Generalmente che gli autostati si mescolano in nuovi autostati
> dell'energia e al variare del parametro perturbativo gli autovalori
> dell'energia variano con continuita'. I livelli degeneri invece
> prendono tipicamente strade differenti. Inoltre alcuni livelli legati
> diventano continui, ma puo' succedere anche che livelli continui
> diventano legati.
Se passiamo a questo caso, non so se si possa dire piu' niente in
generale.
Di certo non so dire niente io :)

> C'e' un'altra difficolta' a cui non so trovare una risposta:
> poniamo che esista un autovalore dell'energia E e supponiamo
> nello spazio delle configurazioni la condizione V(r1,r2,r3) < E
> sia un dominio connesso illimitato, supponiamo anche che V
> tenda asintoticamente ad un valore minore di E all'infinito.
> Posso dire che tutti gli autostati relativi ad E sono "liberi"?
Prima di tutto: che cosa intendi per "liberi"?
Suppongo che pensi ad autofunzioni non normalizzabili, quindi ad
"autovalori" appartenenti allo spettro continuo.
Allora la domanda sarebbe: lo spettro di H nell'intorno di E e' solo
continuo?
Anche qui, ci vorrebbe qualcuno che sapesse molto piu' di me sulla
rappresentazione spettrale degli operatori autoaggiunti...

> Scendiamo di complessita': un potenziale centrale. Bene per
> costruzione il potenziale centrale essendo invariante per rotazioni ha
> la simmetria per rotazioni che garantisce due integrali...
Aggiungi: che commutano.

> ...piu' la simmetria per evoluzione temporale che garantisce la
> conservazione dell'energia.
> Quindi il sistema in potenziale centrale e' sempre integrabile.
> E fin qui nulla di che. Se non che classicamente esiste un teorema
> dovuto a Bertrand che fra tutti i potenziali di tipo power law ne
> seleziona due che hanno orbite chiuse. Benissimo che cosa implica
> quantisticamente il teorema di Bertrand? Le simmetrie aggiuntive che
> derivano dal vettore di Lenz e dalla simmetria armonica (che e'
> piuttosto potente visto dove arriva) permettono di costruire operatori
> di salita e discesa che spazzano interamente tutti gli autovalori del
> sistema.
No, aspetta: la simmetria addizionale di cui parli (per es. SO(4) per
il potenziale coulombiano) ti permette di spazzare tutti gli stati
per uno stesso autovalore.

> Ma cosa ne e' di tutto questo nel caso non bertrandiano? Tornando al
> caso non bertrandiano che pure e' integrabile, come si spiega
> intuitivamente che gli autovalori per l'energia di stati legati
> diventano un numero finito non appena modifichiamo pur di una frazione
> gli esponenti 2 e -1?
Non capisco: perche' un numero finito?
Se prendi per es. un potenziale -1/r^p, con p un po' diverso da 1,
avrai la rottura della degenerazione su l, e nient'altro.

A tutto cio' che segue non saprei aggiungere commenti.
                                  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Oct 03 2004 - 21:02:46 CEST