Re: orbitare intorno al sole

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Mon, 01 Aug 2011 21:43:14 +0200

Gerolamo ha scritto:
> Oh... non pensavo di doverlo dire.
Lo so ... non sei il solo.
E invece non si puo' rispondere a una domanda se non si sa con chi si
sta parlando.
Il livello della risposta, lo stesso linguaggio che si usa, dipendono
da questo.

> Diciamo che ho una preparazione scientifica e se la risposta
> non implica complicati calcoli differenziali riesco a seguirla
> senza troppi problemi.
>
> Non disdegno una risposta bella e pronta, anzi, mi piacerebbe
> anche averla, ma chiaramente quello che mi affascina e' il
> ragionamento che porta a quella risposta.
>
> Ti basta se ti dico che sono un ing. informatico un po' arrugginito
> sulla fisica e la matematica e che il mio interesse a' dovuto alla
> realisticita' di una idea per un racconto hard science fiction*?
Grazie, adesso il quadro e' chiaro.

Ora provo a rispondere, e vedrai che le risposte possono essere date a
piu' livelli...

Prima domanda:
> a che velocit� massima si pu� roteare in orbita stabile circolare
> intorno al sole con un'ipotetica astronave
> ...
> senza l'ausilio di motori?
Ecco come ragiono io, per mio uso e consumo.
a) So che la velocita' in un'orbita circolare va come 1/sqrt(r).
La velocita' orbitale della Terra e' molto vicina a 30 km/s, e il
rapporto tra raggio R di quest'orbita e raggio r del Sole e' circa
220.
La risposta e' quindi 30*sqrt(220) =~ 450 km/s.

b) I dati numerici io li so a memoria, ma si possono trovare facilmente.
Quanto alla legge 1/sqrt(r), si puo' ricavare per esempio dalla terza
legge di Keplero: T prop. R^(3/2).
Da qui puoi calcolare T della tua astronave che orbita rasente al
Sole, a partire dal periodo della Terra.
Da raggio e periodo calcoli subito la velocita'.

c) E se uno non conosce la terza legge di Keplero?
Allora occorre conoscere F = ma e la legge di gravitazione.
In un moto circolare uniforme a = v^2/r, mentre F = GMm/r^2.
Da qui v = sqrt(GM/r), e i valori delle costanti te li trovi su internet.

Seconda domanda:
> come caso precedente ma in orbita ellittica?
E' intuitivo (credo) che la velocita' richiesta (al perielio) sara'
tanto maggiore quanto piu' grande e' l'asse maggiore dell'orbita.
Il caso limite sara' quindi quello di un'ellisse che degenera in una
parabola.
E qui viene il difficile, nel senso che la velocita' parabolica e'
pari a quella circolare per sqrt(2), ma dimostrarlo non e'
semplicissimo.
Si usano solo le leggi della dinamica e la legge di gravitazione, ma
ci sono un po' di ragionamenti e di calcoli da fare.

Terza domanda:
> quale potenza di ipotetici motori servirebbe per mantenersi in orbita
> stabile intorno al sole a una velocita' prossima a quella della luce?
A questa domanda ho due obiezioni.
La prima e' che non devi parlare di potenza.
Potenza e' il lavoro per unita' di tempo, ew come vedremo fra poco la
forza di cui dovreno occuparci *non fa lavoro*.
Puoi chiedere quanto deve valere questa forza, altrimenti detta
"spinta", che i motori dell'astronave dovrebbero applicare in
direzione del Sole, quindi ortogonale alla velocita' (ecco perche' non
c'e' lavoro).

La seconda obiezione e' che non ha senso dire "velocita' prossima a
quella della luce" perche' la forza di cui sopra va a infinito quando
v --> c.
Quindi bisogna precisare *quanto* prossima.

Cio' detto, questo e' un problemino di dinamica relativistica.
Per un moto circolare, invece di F = ma = mv^2/r avrai
F = m*gamma*v^2/r, dove gamma e' il solito
1/sqrt(1 - v^2/c^2).
E' proprio gamma che va a infinito quando fai tendere v a c.

Inoltre non puoi calcolare la forza se non sai la massa dell'astronave.

A stretto rigore, la forza occorrente sarebbe ottenuta in parte
dall'attrazione solare e in parte dalla spinta dei motori.
Ma se v e' vicina a c la forza sara' molto maggiore di quella dovuta al
Sole, che quindi si potra' trscurare.

> *fantascienza hard non � quella pornografica :)
A questo ci ero arrivato :-)
                  

-- 
Elio Fabri
La conoscenza viene da Papa Bondye', appartiene a tutti, e se non si
condivide si perde.
Received on Mon Aug 01 2011 - 21:43:14 CEST

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