Re: Equazione delle onde

From: Andrea <andrea2_at_despammed.com>
Date: 27 Aug 2004 08:02:06 -0700

"CiruZ" <"ciruzMORPH_at_ME"@tiscali.it> wrote in message news:<3yYWc.145114$OR2.7065075_at_news3.tin.it>...
> stefjnoskynov wrote:
> > In article <gFBWc.139838$OR2.6883940_at_news3.tin.it>, "CiruZ"
> > <"ciruzMORPH_at_ME"@tiscali.it> says...
> >>
> > B� il significato fisico sta funzione f(x-vt) o f(x+vt) che risolve
> > l'equazione. Una funzione che rispetta questa espressione (e che
> > quindi risolve l'eq delle onde) si propaga nello spazio e nel tempo
>
> Ma dal punto di vista fisico quale informazione aggiuntiva ci da il sapere
> che le derivate (parziali) di secondo grado rispetto al tempo e allo spazio
> sono tra loro proporzionali? Il dubbio e' tutto qua. Che poi l'onda si
> propaghi nel tempo e nelo spazio, non fa una grinza :-)
> Ciro

Ciao, Ciro,

non sono sicuro di aver capito il tuo problema: vediamo se riesco ad
aiutarti comunque. Allora, il fatto che le derivate ecc. siano
proporzionali non ci dice *nulla* riguardo all'esistenza delle onde,
ci� che � importante � che siano proprorzionali mediante un
coefficiente positivo, che difatti � la velocit� dell'onda al
quadrato. Per esempio un'altra equazione differenziale alle derivate
parziali lineare che di certo conosci, l'equazione di Laplace
u_xx+u_yy = 0, presenta anch'essa derivate seconde rispetto all'una e
all'altra variabile indipendente proporzionali, solo che il
coefficiente di proporzionalit� � negativo, ed allora non esistono
soluzioni *reali* in forma di onda (se cerchi anche soluzioni
complesse, cambia tutto). La ragione di ci� ti dovrebbe essere chiara
se hai studiato la teoria delle caratteristiche, il teorema di
Cauchy-Kowaleskaya e quello di Holmgren, che fanno parte della teoria
"classica" delle equazioni differenziali a derivate parziali. Se
queste cose non le hai fatte, magari il seguente "giochino" ti pu�
aiutare:

a) consideriamo un'equazione pi� semplice, la cosiddetta equazione di
advezione lineare 1) u_t+|v|*u_x=0 . Essa ti dice che il valore di
        u(x,t+dt) � pari ad
u(x,t)-|v|*dt*u_x(x,t)=u(x,t)-dx*u_x(x,t)=u(x-dx,t), cio� che il
valore che al tempo t+dt troverai nel punto x � quello che al tempo t
si trovava ad una distanza dx pari proprio a |v|*dt, Cio� tutta la
"forma" della soluzione, vista come funzione di x, si � spostata nel
senso delle x positive del tratto |v|*dt, e dunque la soluzione si
muove come un'onda di velocit� |v| nel verso delle x crescenti. O
altrimenti puoi dire che poich� u_t=-|v|*u_x, se fissi la tua
attenzione su di un dato punto e fai passare del tempo oppure fissi la
tua attenzione su di un dato istante e fai variare x, otterrai delle
variazioni di u che sono proporzionali: questo intuitivamente � il
comportamento di un'onda, pensa alla classica onda sinusoidale
u=sen(x-|v|*t) che si comporta nello stesso modo (va su e gi� come la
funzione sen(y)) se fissi x e vedi come u varia con t oppure
viceversa.

Meno rozzamente, puoi dire che se il tuo operatore differenziale � 1)
u_t+|v|*u_x=0, allora lo puoi scrivere come
(1/sqrt(1+v^2),-|v|/sqrt(1+v^2))*(grad(u))=0 dove * � il prodotto
scalare e grad(u) � il vettore le cui componenti sono u_t e u_x. Tu
stai dicendo allora che grad(u) ed il versore nello spazio-tempo
(1/sqrt(1+v^2),-|v|/sqrt(1+v^2)) sono ortogonali: per cui se ti sposti
nello spazio-tempo lungo questa direzione, allora u non cambia. Ma
spostarsi lungo una data direzione nello spazio-tempo vuol dire che ti
stai muovendo con una certa velocit�, che nel tuo caso � proprio v.
Per cui fai il seguente cambio di variabili: t'=t, x'=x-|v|*t (hai
presente i cambi fra sdr galileiani, no?) e applichi il teorema delle
derivate a catena, hai che u_t+|v|*ux=-|v|*u_x'+u_t'+|v|*u_x'=u_t'=0
cio� nel riferimeno che si muove di velocit� v nella direzione delle x
positive, u non cambia col tempo per cui la soluzione � un'onda *che
si muove con velocit� |v| nella direzione delle x positive*.

b) Spero con questo "papiello" di averti fatto vedere che fisicamente
se u_t e u_x (derivate *prime*!) sono proporzionali con un
coefficiente di proporzionalit� *negativo*, allora la soluzione si
muove come un'onda nel verso delle x positive. Se invece l'operatore
differenziale � 2) u_t-|v|*u_x=0, rifai il discorso di prima e hai che
l'onda si propaga con velocit� |v| nel verso delle x negative. Ora, se
tu derivi entrambe le equazioni 1) e 2) rispetto ad x, ottieni,
sfruttando le equazioni stesse, l'equazione delle onde, cio�

3) u_tt+|v|^2*u_xx = 0

Quindi sia un'onda che si propaga verso "destra" (cio� che soddisfa la
1)) che una che si propaga verso "sinistra" (cio� che soddisfa la 2))
soddisfano la 3), in cui il coefficiente di proporzionalit� �
positivo. Il viceversa non � vero, naturalmente, come d'altronde era
prevedibile perch� nel derivare perdi informazioni. Quindi, se le
derivate seconde sono proporzionali mediante un coefficiente di
proporzionalit� *positivo*, allora la soluzione pi� generale
dell'equazione � u(x,t)=f(x-|v|*t,x+|v|*t).


Ciao,

Andrea
Received on Fri Aug 27 2004 - 17:02:06 CEST