Re: Per Nessuno.

From: Giovanni Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Tue, 24 Aug 2004 23:21:44 +0000 (UTC)

"nessuno" <depositofiles_at_katamail.com> wrote in message
news:uzEWc.140568$OR2.6907122_at_news3.tin.it

> Giovanni Bramanti wrote:
>
>
>
> > Esiste una propriet� che abbiamo gi� utilizzato parlando di densit�
> > di energia. [cut] l risultato � che questa probabilit� � proprio
> >> psi(k,om(k))|^2.
>
> Mi serve uina chiave di lettura del tuo splendido post (di cui ti
> ringrazio).
> Puoi fornirmela dicendomi se sono corrette le 2) affermazioni seguenti (il
> che signi�ficherebbe che ho capito + o - il tuo discorso)
>
> 1) In altre parole mi hai parlato di due tipi di psi che sono l'una la TdF
> dell'altra. La *prima* � la classica psi(x,y,z,t), la *seconda* � psi(k,
> om), con k = vettore d'onda ed om = pulsazione. E dove k ed om sarebbero le
> variabili trasformate di spazio e tempo (e viceversa, ovviamente)..

Il discorso � leggermente pi� sottile. Diciamo che la funzione
psi(x,y,z,t) pu� essere trasformata nella sola parte spaziale e
conduce a psi(k,t) questa funzione (generalmente si aggiunge un
cappello per indicare le trasformate di Fourier spaziale ed una
tilde per la trasformata di Fourier temporale) fornisce
l'ampiezza della probabilit� di misurare l'impulso k al tempo t,
al tempo stesso questa funzione (per via del teorema che la
trasformata della trasformata � la funzione iniziale) � il
peso da attribuire agli pseudo-stati onde piane per rappresentare
la funzione psi(x,y,z,t). E le onde piane sono funzioni improprie,
(improprie nel senso che non appartengono allo spazio di Hilbert
delle funzioni a quadrato sommabile) dotate di una propriet� molto
particolare: sono autofunzioni dell'operatore -i d/dx. In
altre parole come gi� sai p ha un valore definito sugli stati
impropri di impulso.

Ora nella risposta che ho dato io ho nascosto una difficolt�
cio� non sempre si verifica che H commuti con p, allora
la possibilit� di definire le ondine di DeBroglie � in verit�
subordinata a questa condizione. Se H e p possono essere
scambiati come operatori si verifica che l'evoluzione temporale
� fattorizzabile e la funzione pi� generale pu� essere espressa
come funzione di E e k. A dir tutta la verit� questo si verifica
solo se il termine di potenziale � pressosch� costante nella
regione di studio.

In generale infatti non � possibile esprimere H come lo
avevo espresso nella risposta di ieri. Cio� non sempre
(a dire il vero ben di rado, e fortunatamente per
De Broglie e per la meccanica quantistica fra questi casi
rari esiste quello in cui la particella � libera nel
vuoto) risulta che l'energia si possa esprimere come:

-h^2 k^2/2m + V(k)

Nella generalit� dei casi l'energia agisce
sulle ondine piane come un operatore integro
differenziale, cio� la singola pulsazione non pu�
nemmeno volendo essere associata ad una sola lunghezza
d'onda. Questo significa in soldoni che le nostre
ondine di De Broglie non possono essere espresse, nella
generalit� dei casi, come il prodotto di un'onda piana
e di un'onda dipendente dal tempo con una pulsazione
definita. Esistono tuttavia molte cose che possono
essere espresse dalla teoria ondulatoria con le opportune
conoscenze in modo abbastanza generale da riguardare
anche i casi che abbiamo appena escluso. Vediamone qualcuna.
(In verit� gi� nello studio dell'ottica e della elasticit� si
era presentata qualche situazione analoga a quella che abbiamo
trovato ora e fu dalle sue conoscenze sulla formulazione
dell'ottica che Schroedinger trasse le risorse per formulare
la sua equazione nella forma che lega l'energia con la
pulsazione, tuttavia partiamo senza indugi dall'equazione
di Schroedinger).

La trasformata di Fourier ammette generalizzazioni molto ampie,
� da queste generalizzazioni che nasce la meccanica quantistica
sugli spazi di Hilbert. Le onde piane altro non sono, da un
punto di vista generale se non un particolare tipo di "sistema
completo di funzioni improprie" con cui esprimiamo psi(x,y,z,t).

Un altro esempio di sistema completo, in questo caso di funzioni
proprie � fornito dalle funzioni di Hermite per l'oscillatore
armonico. Le funzioni di Hermite sono polinomi per gaussiane.
E dipendono solo dalla coordinata spaziale.
Risolvono l'equazione H h(x) = E h(x). Dove
H = - (h^2/2m) d^2/dx^2 + 1/2 k x^2
In questo caso possiamo costruire una funzione a quadrato sommabile
che � h(x) exp(-iEt) con la propriet� di risolvere l'equazione
di Schroedinger. Lo stesso � generalmente possibile se H
ammette per soluzione un sistema completo proprio o improprio,
il che si verifica se H gode di una propriet� abbastanza generale
che � verificata ad esempio anche da -i d/dx. Ti dico il nome
di questa propriet� sperando di sollecitare la tua curiosit�
ad indagare ulteriormente. Esiste un teorema che garantische
che un operatore autoaggiunto che risulta anche essenzialmente
autoaggiunto su un sottospazio del dominio dell'operatore
H ammette questo sottospazio come core.


> 2) Se facciamo la trasformata di Fourier della (*prima*) funzione d'onda di
> una particella, otteniamo una funzione che rappresenta l'ampiezza di
> probabilit� per la quantit� di moto * (la *seconda*). Allora, il modulo
> quadrato di questa funzione � la densit� di probabilit� per la quantit� di
> moto, proprio come il modulo quadro della *prima* � la densit� di
> probabilit� per la posizione.

Esatto.

 
> 3) Ecco dunque che le distribuzioni di probabilit� per la posizione e per la
> quantit� di moto sono strettamente connesse l'una all'altra

Esatto.

> * l'impulso e l'energia essendo legati a k e om dalle note relazioni
>
> Corretto

Ecco quello che hai scritto accanto alla stellina � la nota
dolente della teoria di Schroedinger. Cio� generalmente � vero
che l'impulso � legato a k ed � vero che l'energia � legata ad
omega, secondo relazioni note, mentre se non siamo nel vuoto
non � vero che sono facilmente note le relazioni fra k ed om.
Per contro questa difficolt� � la nota saliente della formulazione
quantistica di Dirac Heisenberg...� dall'inquadramento
e dal superamento di questa difficolt� in una formulazione generale
che dipende l'edificio della meccanica quantistica e della teoria
dei campi.


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Received on Wed Aug 25 2004 - 01:21:44 CEST

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