- Gianmarco Bramanti wrote:
-> Dice Feynmann: [cut] Altrimenti la loro descrizione richiede
l'opportuna
-> considerazione dei gradi di liberta' strutturale.
-Perfetto!
Quest'ultima parte per� non � riferita a Feynmann.
-> Sia pure, pero' a me questa spiegazione fa sorgere una domanda:
-> cosa e' un quanto?[cut] in un'altra risposta
-> questa probabilita' ha la forma di un campo di ampiezza di
-> probabilita'.
-Sono cose che non ancora studio e quindi accetto l'approssimazione del
-tutor.
D'accordo puoi comunque stampare le osservazioni che facevo e
rileggerle poi con calma e tornare a scrivermi quando gli inevitabili
dubbi riaffioreranno. Io ne conserver� una copia per conto mio, perch�
sospetto di avere scritto varie frasi che decontestualizzate potrebbero
trarre in inganno o essere misleading (fuorvianti).
-> Non e' necessario pensare al movimento della regione di spazio,
-> e' sufficiente pensare all'evoluzione nel tempo [cut] i punti per i
quali
-il modulo quadro di osservare
-> un fotone supera una soglia minima.
-Perfetto!
-> No. Questa e' una confusione che ti trascini dietro gia' dal contesto
-> classico. Ripeto: un conto e' la trasformata di Fourier dell'ampiezza
-> di campo, un altro conto e' la trasformata di Fourier della densita'
-> di energia o del flusso di energia.
-Hai ragione!
-2 cose, una di ordine matematico ed una di ordine fisico.
-1) Su Fourier so due cose:
-- se il segnale A(x,t) che trasformo � periodico (o peridocizzato),
posso
-fare lo sviluppo in serie ed ottenere cos� uno spettro discreto (anche
-composto da una infinit� numerabile di armoniche).
- Sulle ordinate del mio spettro avr� la medesima grandeza fisica A
-(ampiezza) cos� cge sommandole le armoniche (sovrapposizione) posso
-riottenere il segnale A(x,t). Questo spettro mi dice qual � il
contributo
-delle diverse frequanze all'ampiezza (quale ampiezza? quella media?)
del
-segnale originario. Se penso ad un segnale 2D o 3D del tipo A(x,y,z,t),
ecco
-che il discorso � lo stesso, ma le armoniche questa volta sono
anch'esse 2D
-o 3D.
Lo spettro di Fourier, o per meglio dire la funzione complessa che
corrisponde alla trasformata di Fourier � una densit�. Questa densit�
pesa il contributo del range di frequenze prossime al valore della
variabile in misura proporzionale alla misura del range con il
coefficiente
dettato dalla trasformata di Fourier. In 1D f(k,om) d_k d_om in
3d f(k)d^3k d_om L'ampiezza ottenuta dall'integrale
f(k,om) exp(i*k*x-i*om*t) d^3k d_om
non � l'ampiezza media bens� l'ampiezza esatta. Per essere precisi
la trasformata di Fourier � nella generalit� dei casi una misura,
questa misura pu� essere espressa per mezzo della misura euclidea
e di una densit�. In virt� di un teorema risulta che
se la funzione di partenza ha quadrato sommabile questa densit� � una
funzione a quadrato sommabile. Se invece la funzione di partenza �
periodica non � a quadrato sommabile e la densit� di misura � la
somma di delta di Dirac in punti discreti dello spettro multipli
di un set di frequenze fondamentali. Sono i cosiddetti punti del
reticolo reciproco. Storicamente il teorema di Fourier fu dimostrato
per funzioni periodiche, ed anche nei corsi di matematica viene
dimostrato prima dei teoremi pi� generali sulle trasformate di
Fourier. Cosa succede quando periodicizzi una funzione definita
su un supporto limitato, o comunque a quadrato sommabile?
Succede che scegli un periodo arbitrario. Cosa succede quando
aumenti il periodo? Che le frequenze coinvolte sono multipli interi
di una frequenza fondamentale che � inversa del periodo, quindi
quando il periodo cresce la frequenza fondamentale (la prima
armonica) diventa pi� piccola. Se fissi un intervallo di
frequenze e per valori abbastanza grandi del periodo sommi
le ampiezze delle varie delta di dirac entro l'intervallo
scopri che la somma di queste ampiezze � descritta bene dall'ampiezza
della trasformata di Fourier moltiplicata per l'ampiezza dell'intervallo
di frequenze che hai considerato e che l'ampiezza delle singole
delta di Dirac diventa pi� piccola in misura che aumenti il periodo.
Questa circostanza non cambia per� che stiamo confrontando una serie
che d� luogo ad una funzione periodica con un'integrale di ampiezza
che d� luogo ad una funzione aperiodica. Il fatto che si verifica questa
"stranezza" dipende dal fatto che l'intervallo sul quale la funzione
aperiodica si sovrappone alla funzione periodica sta aumentando,
tuttavia
le due funzioni sono distinte.
- se il segnale � aperiodico, posso fare una TdF. Ottengo uno spettro
-continuo e le singole armoniche hanno tutte _singolarmente_ ampiezza
nulla.
Vero: se una funzione periodica apparisse individualmente
con un peso finito darebbe un contributo infinito al modulo
quadro.
-Suelle ordinate mi aspetto una "densit� di ampiezza". Cio� si pu�
parlare di
-contributo all'ampiezza del segnale originario non gi� della singola
-armonica, ma di una banda continua di ampiezza desiderata.
Perfetto. Facciamo insieme questo esercizio: calcoliamo
l'antitrasformata
di Fourier di f(k) per un intervallo fra k1 e k2 in cui f(k) � circa
costante. Int_(k1,k2) f(k) exp(ikx) dk = f(k)
[exp(ik2*x)/ix-exp(ik1*x)/ix]
ed osserviamo con un poco di esercizio di algebra complessa e
trigonometria che il modulo del numero complesso in parentesi quadra
vale 2 sen[(k2-k1)x]/x mentre la fase sar� exp(i(k2+k1)x/2)
(� utile riferirsi al piano di Argand per valutare la fase della
differenza
fra exp(ik1x)-exp(ik2x) ) Se ora poniamo k1 = k-dk/2 e k2 = k+dk/2
abbiamo: f(k) exp(ikx/2) sen(dk x/2)/(x/2). Allora questo che abbiamo
calcolato � il contributo all'ampiezza del segnale originario della
banda continua di ampiezza dk intorno alla frequenza k. Come vedi
non � una funzione periodica, per� � una funzione a quadrato integrabile
che tende a zero ad infinito. La larghezza caratteristica di questa
funzione � inversamente proporzionale a dk, allora quando infittisci
la partizione di Riemann dell'integrale la larghezza della funzione
integrata cresce.
Integrando la
-densit� di ampiezza lungo una banda di spettro, ottengo la "parte" di
-ampiezza con cui - al segnale originario - contribuisce la banda
-considerata. Al tendere dell'ampiezza di banda a zero, tende a zero
anche
-l'area sottesa alla curva spettrale e quindi il valore di ampiezza
-"ascrivibile" all'intervallo di freq. considerato.-
-Mi sembra ovvio (solo ora) da quanto appena detto cvhe ovviamente lo
spettro
-che opttenaimo dalla TdF di una ampiezza di campo non � lo spettro
della
-densit� di energia o di potenza o di intensit�. *
Certo.
-Premesso quanto sopra (aspetto matematico del problema - di cui chiedo
-conferme/smentite), passiamo al punto 2), quallo fisico.
-Il famoso tutor premetteva al suo discorso una precisazione: il suo non
era
-a rigore un approccio quantomeccanico, ma un approccio classico di
meccanica
-ondulatoria (alla Schrodinger). A quanto pare, storicamente. fu Dirac
ad
-operare una sintesi tra meccanica ondulatoria secondo S. e meccanica
delle
-matrici di Heisenberg, dando vita alla meccanica quantistica. Questa,
poi,
-si � molto evoiluta nel tempo, fino ai giuorni nostri.
-Qual � quest'approccio?
L'approccio ondulatorio � quello costruito da Schroedinger sulla
base della interpretazione della meccanica in analogia con
l'ottica. Schroedinger deriva un'equazione d'onda. Non fu subito
capace di una interpretazione di questa onda. L'idea � che un'ondina
di DeBroglie ha energia cinetica h^2 k^2/2m dunque l'analogia �
fra impulso e h numero d'onda e questo si impara in linea di principio
dalle esperienze di diffrazione su oggetti materiali, e che la stessa
ondina ha energia h^2 k^2/2m + V(k) l'analogia � fra h frequenza ed
energia.
-C'� una equazione (eq. di S.) che descrive l'evoluzione
spazio-temporale di
-una grandezza che indichiamo con psi:
-psi(x,y,z,t) o, nella semplificazione 1D:
-psi(x,t).
-Psi descrive una regione di spazio di dimesnioni e forma variabili nel
tempo
-(pacchetto d'onda) che viaggia nello spazio vuoto alla velocit� della
luce
-con percorso rettilineo.-
No la velocit� di gruppo dell'onda � d om / dk
La velocit� di fase della singola onda � om/k.
In assenza di forze agenti sulla particella
la velocit� di fase vale hk/2m mentre
la velocit� di gruppo vale hk/m cio� nella
meccanica ondulatoria di Schroedinger le velocit�
di fase e di gruppo nel vuoto sono una met� dell'altra
per tutte le particelle materiali. In particolare per
l'analogia di hk con p risulta che la velocit� di gruppo
� proprio la velocit� di una particella di impulso p.
Mentre la velocit� di fase (quella di moto del fronte
d'onda delle singole ondine � met� della velocit� del
gruppo).
-Cosa � psi? E' una ampiezza di probabilit�! Non � una probabilit�, ma
una
-ampiezza di prob. Psi ha la prorpiet� che elevata al quadrato fornisce
*non*
-la probabilit� di trovare la particella, che essa "descrive", in
ciascun
-punto della regione di spazio occupata dal paccheto d'onda, ma la
*densit�*
-di probabilit� di trovare la particella il quel punto. Semplificando in
una
-dimensione,
-la psi^2 ci dice che la probabilit� di trovare la particella
nell'intervallo
-x2-x1 � il risultato dell'integrale di psi^2 lungo x2-x1. Non avrebbe
senso
-parlare di una probabilit� finit� in ogni singolo punto della lunghezza
-deltax del pacchetto d'onde 1D. Ha senso invece parlare di densit� di
-probabilit� in ciascun punto del medesimo.
-L. De Broglie, stabil� la seguente relazione tra lunghezza d'onda Y e
-quantit� di moto p:
-p = h/Y
-da cui ricaviamo l'energia associata alla particella con quantit� di
moto p:
-E = hc/Y
Quelle che hai riportato qui sono le relazioni fra impulso
energia e lunghezza d'onda, velocit�, frequenza per
"quanti di luce". Fu dalla necessit� di conciliare queste
relazioni con quelle trovate per particelle materiali che
nacque l'esigenza di una equazione d'onda relativistica.
Nel bel libro "meccanica ondulatoria" di Pauli le equazioni
di Klein-Gordon sono derivate proprio per questa via e
vogliono essere la generalizzazione delle equazioni di
Schroedinger al caso relativistico.
In tal caso l'impulso rimane hk l'energia h om ma la relazione
nel vuoto fra p ed E � legata all'invariante relativistico:
p^2-(E/c)^2 = m^2. Sempre in quel libro Pauli mostra che
lo sviluppo dell'energia cinetica dall'energia complessiva
richiede di introdurre una frequenza naturale associata
alla massa. Questo shift di frequenza non modifica le
relazioni differenziali per la velocit� di gruppo nel
limite di basse energie.
-Il punto � che noi non disponiamo di una Y per il nostro pacchetto
d'onda,
-ma infinite. Questo dipende da Fourier - a rigore - e non da qualcosa
di
-intrinsecamente quantistico.
Esatto. E' per questo che quello di cui occorre parlare �
velocit� di gruppo. Ampiezza di probabilit� di misurare l'impulso
k, ampiezza di probabilit� di misurare l'energia, ampiezza di
probabilit� di misurare la posizione, etc...
Lo sforzo di Dirac ha mostrato che anche questa formulazione
deve essere superata. Fu a partire dall'equazione di K.G. che
Dirac si pose il problema di risolvere il seguente esercizio
matematico: trovare una coppia di operatori differenziale
lineari in k ed omega che agisse su onde di spin tali che il
prodotto di questi operatori differenziali fosse l'equazione di
Klein Gordon per ciascuna componente. Risolto questo esercizio
si trov� le equazioni di Dirac. Perch� non basta l'equazione
di Klein Gordon?
A questo proposito citiamo le parole di Dirac: "Ricordo che una
volta che mi trovavo a Copenhagen Bohr mi chiese a cosa stessi
lavorando ed io dissi che stavo provando ad ottenere una
soddisfacente teoria relativistica dell'elettrone, e Bohr disse
allora: "Ma Klein e Gordon hanno gi� fatto ci�!" Quella risposta
in un primo momento mi disturb� piuttosto. Bohr sembrava abbastanza
soddisfatto della soluzione di Klein, ma io non lo ero a causa
delle probabilit� negative a cui conducevano. Tenni duro, preoccupato
di ottenere una teoria che avesse solo probabilit� positive".
Arrivare a studiare tutto questo richiede un percorso
di tutto rispetto a partire dalla fenomenologia dell'elettrone
con lo spin, e la teoria di Uhlenbeck, etc... Oppure si pu�
partire dalla soluzione di Dirac. O meglio dalle soluzioni
pi� avanzate, ad esempio dal fatto noto gi� da prima di Dirac
che il gruppo di Lorentz pu� essere studiato in termini dell'algebra
di Clifford del gruppo di spin Spin(4) e che questo gruppo contiene
naturalmente l'algebra di due particelle di spin 1/2.
Occorre poi richiedere la simmetria per parit� ed allora si
scopre che l'elettrone ed il positrone sono nella somma diretta
delle rappresentazioni fondamentali del gruppo di Lorentz.
Purtroppo non esiste alternativa ad affrontare lo studio della
teoria dei gruppi se si vuole comprendere appieno tutta la
portata degli sviluppi introdotti dalle equazioni di Dirac.
Per converso studiata la teoria dei gruppi diventa abbastanza
semplice classificare tutte le equazioni relativisticamente
invarianti. In termini di invarianti di Casimir.
-Abbiamo precisamente un intervallo continuo di Y, ciascuna con una
*densit�*
-di probabilit� ben precisa, cio� con una probabilit� per unit� di
lunghezza
-d'onda (o di freq.).
-Ci� vuol dire che oltre ad avere una incertezza sulla posizione
delta(x),
-abbiamo anche una incertezza sulla quantit� di moto e quindi
sull'energia
-deltaE
-delta(p) = h/deltaY
-deltaE = hc/deltaY.
-Si dimostra che:
-delta(x) * delta(p) > h (principio di indeterminazione)-
-Se il mio pacchetto d'onda si estende all'infinito (nello spazio e nel
-tempo) fino a diventare un'armonica, ecco che avr�, trasformando, una
delta
-di Dirac e quindi una quantit� di moto determinato alla perfezione. Ma
sar�
-infinita l'indeterminazione sulla posizione. Viceversa, se restringiio
il
-pacchetto, impongiio allo spettro di allargarsi sempre di pi�,
ricevendo il
-contributo da armoniche di sempre maggior freq.
La relazione di indeterminazione � una propriet� della trasformata
di Fourier e del fatto che in base al principio di corrispondenza
stabilito da DeBroglie l'impulso va interpretato come -ih d/dx.
Puoi trovare una discussione di questo punto ad esempio sul libro
di Sakurai. Per� in virt� della interpretazione dell'onda come
onda di ampiezza di probabilit� occorre imporre che l'integrale
su tutto lo spazio del modulo quadro valga uno. Questa condizione
non � compatibile con una onda piana di ampiezza finita. Ed in
effetti la meccanica quantistica va elaborata in spazi
di funzioni a quadrato integrabile. Questi spazi di funzioni
possono essere dotati della struttura di spazi di Hilbert. Le
delta di Dirac non sono elementi di questo spazio, ma sono invece
strumenti ausiliari il cui uso richiede di familiarizzare con
la nozione di distribuzione.
- Se trasformo con Fourier psi, coerentemente con quanto detto sopra,
dovrei
-avere una "densit� di ampiezza di probabilit�". Integrando psi lungo un
-intervallo di freq. deltaY, ottengo il contributo all'ampiezza del
-pacchetto, della banda di freq. considerata. Ora per� sono alla ricerca
di
-una funzione che trasformata con Fourier mi di lo spettro della
*densit�* di
-probabilit�.
Bhe, questa per definizione � l'antitrasformata della funzione
modulo quadro di psi. (se usi la definizione simmetrica di
trasformata ed antitrasformata l'antitrasformata � proprio la
trasformata di Fourier). Per� cercher� di convincerti che in questa
situazione non � questa la grandezza di principale interesse, come
non lo era nel caso dello spettro dell'energia dei fotoni. Quel che
conta di questa trasformata � in un certo senso la componente di
frequenza zero. Mi sembra che a guidare il tuo sforzo sia il
tentativo di stabilire una analogia fra la funzione d'onda e
la densit� di energia ed impulso per un'onda elettromagnetica.
Allora andiamo con calma. Vedremo che l'analogia che permetteva
di identificare lo spettro con il modulo quadro della trasformata
di Fourier � salva.
Tuttavia occorre tenere presente che esiste un gap fra la direzione che
seguiremo qui e quella seguita comunemente sui libri. Cercher� di
spiegare in che consiste e come superarlo per quel che mi riesce.
In primo luogo vediamo da dove origina il gap fra l'elettromagnetismo
e la meccanica ondulatoria, osserviamo che in meccanica quantistica
ondulatoria usiamo |psi|^2 mentre in elettromagnetismo usiamo le densit�
di energia espressa a partire dagli elementi reali.
In secondo luogo il significato delle due grandezze � differente, in un
caso si trattava di densit� di energia, nell'altro di densit� di
probabilit�.
Quello che notavamo nel caso dell'elettromagnetismo � che alla densit�
di
energia in un punto contribuiscono i valori medi di E*(k) E(-k) ovvero
|E(k)|^2 in virt� della identit� E(k)=E*(-k). Nel caso dell'equazione di
Schroedinger c'� una differenza: se psi(x,t) � soluzione psi*(x,-t)
� pure soluzione, mentre non lo � psi*(x,t). In terzo luogo esiste
un gap fra il punto di vista ondulatorio ed il punto di vista secondo
il quale gli stati fisici devono essere descritti a prescindere dalla
particolare rappresentazione, la ragione di ci� dipende dalla
circostanza
che la meccanica ondulatoria corrisponde ad un particolare modo di
estrarre l'informazione da un sistema fisico che pu� essere rivisto
sotto molti e differenti rispetti. Ma torniamo alla differenza
fra la funzione d'onda ed il campo elettromagnetico per quanto
riguarda la natura complessa delle funzioni d'onda.
Questa differenza si verifica perch� le equazioni di Maxwell sono
del secondo ordine, mentre le equazioni di Schroedinger sono del
primo ordine ed il termine di primo ordine contiene una unit�
immaginaria.
Ne segue che diversamente che nel caso elettromagnetico
non possiamo considerare onde a valori reali. In altre parole
l'analogia di De Broglie guida ad una equazione essenzialmente
complessa con soluzioni essenzialmente complesse. Diversamente,
l'equazione di Klein Gordon, ovvero la prima equazione candidata
ad essere una formulazione relativistica per la meccanica quantistica
� una equazione del secondo ordine come le equazioni di Maxwell. Lo
sviluppo di Taylor della radice quadrata conduce ad una equazione
essenzialmente complessa. L'esercizio �:
sqrt(p^2+m^2) = m sprt(1+ p^2/m^2) = m (1+p^2/2m^2) = m + p^2/2m.
Con questa radice scegliamo l'approssimazione di una delle due
soluzioni della equazione di Klein Gordon. La corretta interpretazione
di questa scelta � stata una sfida formidabile in parte ancora
aperta per i fisici teorici del novecento. Ed i suoi tentativi
di soluzione hanno condotto alla formulazione della teoria dei
campi quantistici, come accennavo prima.
Avevamo poi un'altra condizione utile quando consideravamo lo spettro
di energia per un campo elettromagnetico variabile, che questo campo
� stazionario. Ora la funzione d'onda non � stazionaria. Siamo dunque
di fronte ad un nuovo problema. Non di meno la soluzione di questo
problema, ovvero l'interpretazione delle rappresentazioni di impulso
� pi� semplice.
Anzitutto: psi(x,t) = Int psi(k,om) exp(i[k*x-om*t])
Esiste una propriet� che abbiamo gi� utilizzato parlando di densit�
di energia. Ed � che l'integrale del modulo quadro di TFpsi(k),
trasformata di Fourier della funzione psi(x) coincide con l'integrale
del modulo quadro di psi(x). In quel contesto avevamo usato
questa propriet� per dire che la densit� di energia � uguale alla
somma delle densit� di energia relative alle diverse componenti
impulsive.
Per tenere a fondo l'analogia occorrerebbe uno spettrometro di impulso;
la condizione di stazionariet� dovrebbe poi essere sostituita
con una condizione di identit� delle funzioni d'onda dei diversi
esperimenti di rifrazione. In modo da potere fare una statistica
su diverse misure di impulso. Infatti si verifica che
|psi(x,t)|^2 = |Int psi(k,om) exp(i[k*x-om*t])|^2 =
Int Int psi*(k,om) psi(k',om') exp(i[(k-k')*x-(om-om')*t])
Dal punto di vista pratico quello che conta � la probabilit� di
misurare una particella in una certa direzione. Bene se in
quella direzione noi riceviamo solo particelle di impulso k
(grazie al magico spettrometro di impulso) noi abbiamo da
considerare l'integrale in t e l'integrale su una regione di
spazio. Il risultato � che questa probabilit� � proprio
|psi(k,om(k))|^2.
L'analogia pu� essere spinta pi� a fondo studiando il problema
della misura di grandezze quantistiche in modo astratto
in spazi di Hilbert e considerando i valori medi delle grandezze
considerate, nonch� la rappresentazione in termini di impulso
e posizione, e sviluppando la teoria delle osservabili. In
questo quadro una maggiore generalit� di situazioni pu� essere
presa in considerazione.
Scopriamo allora che come abbiamo dato senso alla probabilit�
di misurare l'impulso p in termini del modulo quadro di psi(k,om(k))
allo stesso modo possiamo dare significato al valore medio di k
in termini di Int k |psi(k,t)|^2. E che questo corrisponde, nella
rappresentazione delle coordinate a valutare l'integrale di
Int psi*(x,t) (-ih grad) psi(x,t) d^3x*dt. Ed ancora possiamo
dare significato alla misura di una grandezza come il momento angolare
che � dato da r*p o il momento di dipolo, e costruire tutta una
serie di rappresentazioni differenti ed equivalenti a quella in
termini duali di posizione ed impulso.
Allora a questo punto conviene che tu prenda in considerazione la
lettura di un libro di fondazione, che pu� essere il Dirac ad
esempio, il Sakurai, lo Schiff, il Messiah, le dispense di E.E. Picasso,
oppure
qualche altro libro suggerito dal tuo tutor. In ogni caso ti accorgerai
che esiste una difficolt� ad iniziare lo studio della meccanica
quantistica
su un libro come Landau, ma nel seguito scoprirai che quel libro � una
preziosa miniera. Un consiglio molto vivo � quello di guardare con
attenzione e senza pregiudizio la letteratura francese pi� recente
sulla meccanica quantistica, in particolare il libri di esercizi
difficili
ma molto belli di Dalibard e
Cio� una funzione che integrata nell'intervallo deltaY mi dia
-la probabilit� che la particella abbia una Y compresa in deltaY.
L'integrale
-di questa funzione deve (ovviamnete!) annullarsi col tendere zero di
deltaY
-(probabilit� che la particella abbia un esatta Y, una Y "puntiforme") e
deve
-essere ugualwe ad 1 nel caso in cui volessi ntegrare lungo tutto lo
spettro.
-Stesa cosa valeva per psi^2 per quanto riguarda la posizione della
-particella: integrando lungo tutto delta(x) la psi^2 ottengo una
probabilit�
-uguale ad 1!-
No. In verit� questo � un punto delicato. Trovare una psi il cui modulo
quadro vale delta(x) � un problema matematico formidabile in teoria
delle distribuzioni, e a dire il vero credo non ammetta soluzione. La
difficolt� pu� essere evidenziata considerando la trasformata di Fourier
di delta(x) dovremmo trovare una funzione la cui autoconvoluzione
� la funzione costante 1(k). Chiedo conferma ai metodisti del ng, ma
mi sembra che questo problema non ammetta soluzione. Esiste invece
una distribuzione data da delta(x-x0) che moltiplicata scalarmente
per psi(x) fornisce psi(x0).
-Insomma, come hai notato, dovrei aver capito che la la funzione che
cerco
-*non* coincide con la TdF dell'ampiezza di campo psi. Ma allora, quale
-funzione devo trasformare per avere la curva spettrale da me cercata
(quella
-delle densit� di probabilit� riferita alle quantit� di moto/lunghezze
-d'onda/energia)?
Esiste una propriet� che abbiamo gi� utilizzato parlando di densit�
di energia. Ed � che l'integrale del modulo quadro di TFpsi(k),
trasformata di Fourier della funzione psi(x) coincide l'integrale
di psi(x). Esiste in verit� anche un analogo dello spettrometro
di frequenza del caso ottico ed � uno spettrometro di impulso
basato sull'uso di una barriera di potenziale, solo che un oggetto
del genere non � di facile impiego e realizzazione per singoli
oggetti. L'idea � che una linea che separi due regioni con potenziali
differenti determina uno splitting delle diverse componenti di impulso
analogo a quello causato da un prisma. La differenza sta nel fatto che
in questo caso la rifrazione � all'incontrario. Ci� detto la risposta
alla tua domanda, supportata dalla teoria delle rappresentazioni
� che quello che devi considerare per conoscere la distribuzione
di ampiezza di probabilit� delle diverse componenti di impulso �
proprio la trasformata dell'ampiezza di posizione. Ovvero la
psi(k,om).
-Questo tutor ha poi aggiunto due accenni alla MQ vera e pprorpia. Mi ha
-parlato di spazi vettoriali duali e di combinazioni lineari di
funzioni
-d'onda (considerate come vettori), a mezzo di scalari complessi. Anche
se io
-mi sono domandato: non basta l'eq. di S. a descrivere ad es. una
particella
-che attraversa lo schermo con due fenditure? Perch� combinare
linearmente la
-psi dell'elettrone passa attraverso la fenditurta A (la B essendo
chiusa)
-con la psi dell'elettrone che passa la B (la A essendo chiusa)??
Esiste una struttura astratta che vale in particolare anche nel caso
della
meccanica quantistica, ma che ha una validit� pi� generale ed ha
permesso
l'estensione e la costruzione della meccanica quantistica. Questa
struttura
fu messa in evidenza dal lavoro di Dirac e contestualmente dallo sforzo
di
vari fisici teorici, uno dei contributi pi� significativi � stato quello
di Von Neumann. Questa struttura ha una validit� pi� generale e riguarda
anche sistemi in cui � difficile parlare di posizione, come ad esempio
il campo elettromagnetico. Si tratta del linguaggio degli stati e degli
operatori associati. Un esempio di formulazione quantistica
dell'elettromagnetismo
comporta la definizione dell'operatore campo elettrico e dell'operatore
campo
magnetico. Gli operatori di campo tuttavia si distinguono dalla funzione
d'onda per via delle differenti equazioni a cui obbediscono e per altre
particolarit� legate con il principio di indeterminazione che deve
essere
formulato in modo pi� generale, e permettono di recuperare questa
nozione
solo sotto particolari ipotesi che non valgono ad esempio nel caso del
campo elettromagnetico.
-Mi ha anche accennato all'interpretazione che in questo contesto ha il
-principio di Indeterminazione: il collasso sul particolare autostato
-corrispondednte all'autovalore misurato, ecc.
-Ma erano cenni e basta...
-Ad ogni modo mi ha spiegato che la misurazione � un evento traumatico
per il
-sistema e determina il collasso del pacchetto d'onda sui valori delle
-osservabili che poi vengono effettivamente misurati. Il tutto sempre
nel
-rispetto dell'indeterminazione.
-A questo punto vorrei spendere due parole sul discorso classico. Sto
-leggendo ancora quello che mi hai altrove spiegato su TdF di ampiezza
di
-campo e.m. e TdF della densit� di energia.
-Tuttavia mi sembra chiaro che, analogamente a quanto detto prima
nell'ambito
-quantistico, si possa dire che se considero un pezzo di campo e.m.
-delimitato nello spazio, per ogni suo punto, avr� una ampiezza -
evolventesi
-col tempo - del campo elettrico (e di quello magnetico) E (x,y,z,t). La
TdF
-di questa funzione mi da lo psettro delle ampiezze di campo e ad esso
si pu�
-applicare _tutto_ quello che ho detto circa la TdF di psi (comprese le
-semplificazioni 1D).
Esatto. Tieni per� presente che la TdF non ti d� lo spettro delle
ampiezze
di campo, d� di pi�, d� le componenti delle ampiezze di campo associate
con
una certo pseudo-stato di impulso. La questione della misurazione pure
conservando le propriet� formali della interpretazione di Cophenaghen
che
contengono nella sostanza la riduzione del pacchetto d'onda ha
condotto ad una nuova formulazione del concetto di evoluzione temporale
di
un sistema quantistico complesso nell'atto della misura. Questo
inquadramento,
non ancora completo, consente in un certo senso di relativizzare la
misteriosa
postulazione della riduzione del pacchetto d'onda in termini di una
trattazione
a molti corpi. L'emergenza di propriet� statistiche come la decoerenza o
la non linearit� statistica del processo di misura consentono di
inquadrare
diversamente il processo di misura. A questo proposito � istruttivo
proprio
il libro di Dalibard che ho avuto modo di leggere qualche tempo fa.
-Integrando lo psettro risultante nell'intervallo deltaY, ottengo il
-contributo all'ampiezza del mio campo delle armoniche (1-, 2- o 3D)
comprese
-in deltaY.-
-Ora tu hai cercato di spiegarmmi che c'� una serie di passaggi da fare
su
-E(x,y,z,t) per ottenere una funzione - che chiamero' J - che
trasformata con
-Fourier, mi dia lo spettro della densit� di energia (o di potenza o di
-intensita*). Immagino che questa funzione J potrebbe darmi la densit�
di
-energia in ogni punto dello spazio. Cos� integrandola nello spazio
potrei
-avere l'energia (o la potenza o l'intensit�*) di un volumetto stabilito
(nel
-tempo stabilito). Come vedi sto cercando di vedere se il parallelismo
con
-psi e psi^2 regge....e fino a che punto. Trasformando J dovrei avere lo
-spettro delle densit� di energia: integrando lo spettro su deltaY
sapere,
-invece, quanta energia � associata a quell'intervallo di Y.-
Si direi che questa intuizione � corretta, tranne che ora la trasformata
dovrebbe dare la densit� di volume dello spettro, che � per definizione
una densit� nell'unit� di volume e nell'unit� di intervallo di
frequenza.
E mi sento di proporre come candidata la funzione E*(x,t)E(x,0) analogo,
nel caso elettrico, del valore medio del campo scalare f*(x,t)f(x,0) su
uno
stato e che � pari a phi*(x,t) phi(x,o) la cui trasformata di
Fourier nel tempo fornisce la densit� di probabilit� di misurare
un'energia omega nel punto x.
-Mi domando:
-- esiste realmente J?
-- come si arriva a J da E(x,y,z,t)? Questo dopvresti avermelo detto
-nell'altro thread: giusto?-
Esatto. E' il teorema di Wiener Kintchine.
-Ora dovrebbe andar meglio, no?
-> In accordo con l'equazione di Dirac.
-Avrei detto, in linea con quanto soppra. di Schrodinger.
E' un discorso sottile e difficile. L'equazione di Dirac �
la corretta equazione del moto per gli elettroni, sotto opportune
ipotesi si pu� costruire dall'equazione di Dirac una grandezza phi(x,t)
che obbedisce ad una equazione di Schroedinger, questa equazione �
essenzialmente imparentata con lo sviluppo ad energia positiva
dell'equazione di Klein-Gordon, ma il modo migliore di procedere
dal campo di Dirac e costruire una funzione che obbedisce all'equazione
di Schroedinger.
-> Quello che sappiamo e' ad una scala talmente macroscopica rispetto
-> al livello atomico, che sapere prevedere cosa succede con schemi "di
-> fortuna" sviluppati a questo nostro livello umano di conoscenza ha
-> del miracoloso, di questo strano miracolo non finiro' mai di
-> stupirmi, senza ritenere con questo di sapere cosa sia un elettrone,
-> oltreche' un'invenzione della nostra fantasia avallata da dati
-> sensibili misurati (per molti da altri) in laboratorio e da un
-> quadro ipotetico deduttivo che usa strumenti avanzati di conoscenza
-> matematica.
-Bellissima riflessione....
Grazie.
->> ATTENZIONE! Non bisogna confondere la funzione d'onda con un pezzo
->> di campo e.m. Non bisogna neanche pensare che essa sia quell'onda
->> che vediamo subire diffrazione nel passaggio di un fotone attraverso
->> una fenditure. E' un'onda diversa.
-Qui ho commesso un errore. Il tutor, in effetti, diceva prorpio il
-contrario. E cio� che � prorpio il pacchetto d'onda a subire ci� che
-normalmente subiscono le onde: ad esempio la diffrazione attraverso le
-fenditure con successiva interferenza. Quindi bisogna immaginare il
-pacchetto d'onda come capace di riflessione, rifrazione, ecc. Dal
-comportamento probabilistico di questo pacchetto e dall'effetto
statistico
-di una moltitudine di pacchetti, deriva quanto osserviamo in ottica, ad
es.-
Mi ripeto. Occorre stare attenti a mescolare i livelli. Quello che
osserviamo in ottica � prodotto da un tipo di campi differente dai
campi di materia che producono la dinamica che osserviamo per particelle
materiali. La differenza � data essenzialmente dalle diverse equazioni
a cui obbediscono e dalla particolarit� della massa nulla. L'analogia
formale sul piano dei campi � praticamente completa, mentre sul
piano delle equazioni d'onda per le densit� e dell'interpretazione
delle soluzioni richiede delle attente distinzioni. In particolare
mentre per particelle massive la misura di cento particelle richiede
la presenza di una certa quantit� minima di massa, per quanto riguarda
i fotoni questo non � vero, si possono misurare cento fotoni di
frequenza molto bassa o centomila di frequenza ancora pi� bassa
estraendoli dallo stesso campo. Nel caso di particelle materiali
esiste un limite superiore dato dalla massa complessivamente presente.
In particolare questo comporta che l'interpretazione della funzione
d'onda di fotodetezione in termini di funzione d'onda di un solo fotone
sia ammessa solo se utilizziamo detectors selettivi.
-> A patto di una elaborazione ulteriore della trasformata. Attenzione,
-> perche' probabilmente il tuo tutor ha chiaro questo passaggio,[cut]
-> Un altro ancora la densita' di energia che puoi andare a misurare
-> senza riguardo al numero di fotoni effettivamente misurati.
-Questo credo sia quanto ti chiedo pi� sopra.-
Nel caso classico basta considerare il modulo quadro della
trasformata di fourier del campo, e questa � uguale alla media
della componente di frequenza omega della trasformata della
funzione di correlazione a due tempi . Cio�
<Int (Int E*(x,om') e^(-i om' t) E(x,0) ) e^(i om t) dt> =
|E(x,om)|^2
Nel caso quantistico quel che cambia � l'interpretazione delle
parentesi angolari. Come valor medio sullo stato del campo
elettromagnetico considerato.
-> Esiste una nota aberrazione cromatica [cut]comporta una
-> dispersione quantistica ineliminabile, che comporta una imprecisione
-> nella localizzazione del fuoco
-Mi chiedevo solo se questa imprecisione ha a che fare col principio di
-indeterminazione. Per me, infatti, se il fuoco fosse perfettamemente
-puntiforme, avremo definito con esattezza la posizione del fotone. E se
nel
-fuoco ci fosse un rivelatore, sapremmo contemporaneamenmte posizione
esatta
-e quantit� di moto nei limiti della sensibilit� del rivelatore, cosa
cmq
-impossibile per il principio di indeterm. Ma forse questo discorso �
-sbagliato, ma non capisco perch�!
Ha a che fare esattamente con la natura ondulatoria dei campi, e con
la circostanza che i campi sono operatori che obbediscono a delle regole
di commutazione. La formulazione lagrangiana della teoria conduce entro
la teoria dei campi ad un teorema di indeterminazione. Questo teorema �
essenzialmente conseguenza delle regole di commutazione per gli
operatori
quantistici che descrivono e i campi, contestualmente con le equazioni
d'onda del sistema. Quindi la risposta � si, essenzialmente la forma
ondulatoria, con il principio di Huyghens e con le relazioni di
indeterminazione sono conseguenza simultanee di una densit� di energia
conservata e delle regole di commutazione per i campi.
-Grazie di cuore
-* per "potenza" intendo l'energia in rapportio al tempo; e per
"intensit�"
-la potenza in rapporto alla superficie attraversata dall'onda
Corretto. Grazie a te.
--
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Received on Mon Aug 23 2004 - 02:13:11 CEST