Re: covariante e cotrovariante

From: Giovanni Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Thu, 19 Aug 2004 22:54:33 +0000 (UTC)

n Fri, 13 Aug 2004 10:38:05 +0000 (UTC), Gianmarco Bramanti wrote:
> "rez" <rez_at_rez.localhost> wrote:

Sintetizzo. Dico reciproco del tensore A^i_k il tensore
B_i^k per il quale: A^i_k B_l^k = g^i_l. Dico duale
del tensore B^i_k il tensore B_i^k. Asserisco che
per cambi di base isometrici l'operazione di reciprocit�
e l'operazione di dualit� commutano ed equivalgono
all'identit�.

>> Chiarito questo, dico che le matrici [*] A_i^k e B^i_k
>> sono l'una l'inversa dell'altra.
>> Ora spiego il significato.

>> - Premessa/pro-memoria/precisazione: B^i_k; B^k_i; B^j_h; ..
>> sono *indistinguibili*.

> Non sono mica muti quegli indici l�.
> Ad esempio Z^2_1 e Z^1_2 possono
> essere numeri diversi.

-Non ci siamo.. busso a picche e rispondi a bastoni!

No, sbagli. E' del tutto ovvio che gli indici li chiami
come ti pare.

-Z^2_1 e Z_1^2 sono a priori diversi come a e` a priori
-diverso da b.
-Io dico invece che.. guarda:
-P=(x_1,x_2,x_3)=(x_i)=(x_k)=(x_l)=.. e anche qui l'indice
-e` scoperto.



-Diverso e` scrivere x_i = x_j, ma ancora identico e`
-invece dire che: || x_i || = || x_j ||.

-Queste ultime matrici-riga (o colonna se si preferisce)
-sono infatti indistinguibili, o meglio son due modi per
-scrivere la stessa cosa, questa: ||x_1 x_2 x_3||.

Secondo me � la parola indistinguibile che giunge
fuor di luogo. Le matrici non sono "indistinguibili"
sono le "stesse matrici".


> Inoltre, ad
> esempio: l'identit� Z^i_k = Z^k_i
> significa che la matrice (Z^_)_ik = Z^i_k
> � simmetrica, ma questo non � vero per
> tutte le matrici Z^_ associate ad un tensore.

-Non ci siamo.. questo che dici non ha niente a che vedere
-con cio` che dicevo e che c'e` ancora quotato qui su.
-Penso dovresti riguardare con calma, meglio forse se uno
-se lo trascrive a mano.

Ribadisco � del tutto ovvio che gli indici li chiami come
ti pare. Ben diverso parlare di indistinguibilit�.
L'indistinguibilit� � una propriet� di simmetria non
sui nomi, ma di sostanza e riguarda le propriet� di simmetria
per permutazione degli indici di una quantit�
multilineare. Era solo questo che volevo rimarcare certo che
tu avessi perfettamente intesa la situazione e fossi stato
trascinato dallo zelo. Mi sbagliavo ed allora eccomi a rispiegare.

-Z^i_k = Z_i^k e` come dire che, date due terne numeriche:
-(a,b,c) e (d,e,f), si ha: a=d; b-e; c-f.
-In altre parole, la valenza scambiata di posto rende i
-simboli diversi, anche se hanno Z entrambi.

No questa cosa che hai scritto qui � come dire che
puoi uguagliare le componenti di un vettore e di
un covettore. Questa identificazione non pu� esser
covariante. Ti accorgi subito che se provi ad esempio
ad abbassare l'indice k ci riesci a destra e fallisci
a sinistra. E se provi ad alzare l'indice k ci riesci
a sinistra e fallisci a destra.

>> - Perche' sia vero l'assserto, basta precisare che B^i_k
>> e` il reciproco di B_i^k nella matrice ||B_i^k||.
>> - N.B. "Il reciproco", ergo B^i_k e` indifferente
>> intenderla come la reciproca della matrice data, ovvero
>> l'inversa.
>> - OK?

> Possibile, se spieghi come definisci reciproca e come
> definisci inversa, ed infine che numero metti dentro
> il posto riga i colonna j della matrice dato un tensore
> Z^i_j. Esistono, ripeto, due modi utili di fare questo
> entrambi adeguati e coerenti:

-Da qui in poi aspetto, perche' temo che c'entri il mio
-errore, ma l'errata-corrige purtroppo ha ritardato
-parecchio, anche se l'ho spedita subito.
-Tra vedere e non vedere ti anticipo che l'inversa e` la
-trasposta della reciproca.
-Ma questo non e` universale? O forse ci son vecchie
-novita` americane anche qui? 8-]


No questo � quel che sostengo. la reciproca altro non
� che la trasposta dell'inversa. Ovvero reciproca perch�
se una � la covarianza l'altra � la controvarianza e
viceversa. Ovvero che qualora Z^m_l W_i^l = g^m_i
risulta che le matrici associate con Z e W sono
reciproche. Il che altro non dice se non che le matrici
associate con Z^_ e Z_^ secondo la prima convenzione
sono reciproche nell'ipotesi di trasformazioni isometriche.
E che in tal caso tr(W)^i_l [tr sta per trasposta]
ha matrice associata che � inversa di Z.

Quello che ora sto dicendo usando
la stessa lettera � che W la costruisco da Z^_ abbassando
il primo indice ed alzando il secondo. Questo � certamente
permesso solo se Z � una trasformazione che lascia invariato
l'elemento metrico e non in generale. Quindi ancora devo
riconoscere il tuo contributo di chiarezza, stavo assumendo
implicitamente che le trasformazioni fossero trasformazioni
di Lorentz, ma in generale un cambiamento di base pu� essere
non lorentziano senza che ci� comprometta il carattere di
reciprocit� fra la trasformazione covariante e quella
controvariante.

-Anzi, riporto e rispondo solo a questo tuo I) che segue,
-perche' forse lo diresti comunque.
-Taglio invece il II) che non riguarda il calcolo
-tensoriale ed allora mi sembra che sia ovvio e che siamo
-anche d'accordo.

No non ci siamo.

> I) l'elemento di riga i colonna j di Z^_ � Z^i_j
> mentre di Z_^ � Z_j^i. Detto a parole nella matrice
> metti gli elementi in modo che la corrispondenza
> fra gli indici tensoriali e gli indici matriciali
> avvenga in ordine tipografico. Il primo indice del
> tensore � di riga, il secondo indice del tensore �
> di colonna.

-Ma no.. le quantita` munite di indici: Z^i_k, Z_i^k, sono
-entrambe n*n quantita` numeriche ordinate, senza alcun
-legame tra le prime n*n e le seconde n*n.
-In altre parole si sta parlando di due simboli ben
-distinti.

No non ci siamo proprio. Z � proprio lo stesso simbolo
la lettera zeta dell'alfabeto, ultima del latino.
^ questo significa indice controvariante.
_ questo significa indice covariante. Esiste un
legame ben preciso dovuto alle propriet� generali
di innalzamento ed abbassamento degli indici che lega
Z_l^m a Z^u_t e si tratta di questo:
Z_l^m = g_ls Z^s_t g^tm. Quando Z^_ � una isometria
la sua reciproca � proprio Z_^.

-E questo, a livello di simboli, cioe` in ogni caso e
-a prescindere dal fatto che gli indici abbiano o no
-carattere tensoriale.

No anche in questo non ci siamo. A livello di simboli
Z_l^m a prescindere dal contesto multilineare pu�
significare i ciciri do massagna quannu s'allamparu.


-Se poi a posteriori si scopre che veramente non c'e`
-alcun legame tra loro, allora l'aver scelto la stessa
-lettera Z vuol dire che e` stato fatto unicamente per
-puro masochismo.

No � necessit� logica nel caso specifico che stiamo
considerando ovvero quello delle isometrie. Altrimenti
no. Generalmente, hai ragione se vuoi evidenziare ci�,
se Z non � un'isometria � falso che Z^_ e Z_^ sono
reciproche ed � falso che la reciproca di Z^_ � Z_^.


> Nella convenzione I) le matrici associate con il
> tensore di trasformazione covariante e con il
> tensore di trasformazione controvariante sono
> una inversa della trasposta dell'altra.

-Assolutamente no. Ed e` ovvio, visto quanto ho appena
-finito di dire.

Invece si. La trasformazione controvariante �
reciproca della trasformazione covariante. E nel
caso di isometrie si ottengono una dall'altra
abbassando gli indici controvarianti ed innalzando
gli indici covarianti. E questo invero
a prescindere dal fatto che covariante e
controvariante siano o meno indicate dalla stessa lettera.

Circostanza aggiuntiva che equivale alla isometricit�
(lorentzianit�) della trasformazione considerata.


-Per esserlo, sei obbligato a precisare esplicitamente
-queste due condizioni:
-1. Z_i^k = C^k_i
-2. C^i_k e` il reciproco di Z^i_k nella matrice
-||Z^i_k||.

No basta utilizzare al solito la prima convenzione
ed osservare che la matrice ||W^i_l|| = ||Z^i_l|| �
reciproca della matrice ||Z_i^l||. Potresti avere
qualche difficolt� solo se ti saltasse per testa
di chiamare le matrici con il nome del tensore da
cui sono derivati senza riguardo per l'ordine di
varianza. Ma perch� mai dovresti farlo se ti sei
scomodato addirittura a cambiar nome? La difficolt� puoi
averla quando cerchi di passare ai tensori dopo aver
lavorato sulle matrici. Perch� per riconoscere che
||W^i_l|| � proprio ||Z^i_l|| devi utilizzare la
condizione di invarianza W G = G W*. Mentre la
condizione di reciprocit� fra W e Z conclude
l'argomento che W � proprio g Z G dove g � la
matrice associata al tensore metrico covariante
e G � la matrice associata al tensore metrico
controvariante. Le quali sono una inversa dell'altra.


-Ma ripeto [e leggilo pero`, non fare solo finta!;-))]
-tutto questo della trasposizione si bypassa perche' i
-prodotti tra matrici li puoi fare a tua scelta righe per
-colonne, o quel che vuoi per quel che vuoi, senza neppure
-il bisogno di indicarlo a parole.
-In altri termini, la sola cosa importante e` che gli
-elementi di una siano i reciproci dei corrispondenti
-dell'altra.

E' vero che se lavori con i tensori puoi fare come ti
pare, se per� vuoi lavorare con le matrici esistono
degli standard restrittivi. In tal caso nessuno fa
i prodotti righe per righe o colonne per colonne, pure
se sono pensabili. Pensa cosa succede se moltiplichi
righe per righe tre matrici. Succede che non vale pi�
la propriet� associativa del prodotto.

-E ritornando a bomba e concludendo: ||A_i^k'|| e
-||A^j_h'|| sono dunque l'una l'inversa dell'altra,
-sotto la sola condizione che si precisi esplicitamente
-che A^l_m' e` il reciproco di A_l^m' nella matrice
-|| A_l^m' ||.

E qui di nuovo stai intrecciando covarianza e controvarianza
sullo stesso piano, se provi a scrivere esplicitamente
quello che hai detto trovi che la condizione che ||A_i^k||
� inversa di ||A^i_k|| non la puoi esprimere in termini
covarianti. Mentre la condizione di reciprocit� di A_i^k
rispetto ad A_k^i nella matrice ||A_k^i|| � naturalmente
covariante. Tuttavia brevissimamente quel che � giusto
dire � che data una trasformazione lineare con un
indice covariante ed uno controvariante la reciprocit�
e la dualit� si equivalgono solo per le isometrie.


-[ti ho preso in cura bene io.. mo' ti cambio gli indici
-in continuazione tutte le volte che posso! In queste
-non c'e` una sola coppia uguale, tranne l'ultima
-obbligata:-))]

Mi ricordi un vezzo che avevo alle scuole medie, il racconto
che segue � un poco romanzato perch� non mi ricordo pi� il dettaglio,
per� diciamo che quando risolvevo le equazioni mi stava sul cavolo
la convenzione che l'incognita si chiamasse x ed allora una volta
provai a chiamarla a e poi nell'equazione successiva
siccome a l'avevo gi� usata usai la b e poi la c, poi
siccome c'era un'equazione con delle costanti che come
d'uopo erano state indicate con a, b e c nel testo scrissi
che avendo gi� utilizzato a,b,c avrei usato le costanti
d,e,f e la variabile g.

I risultati erano corretti, ma il buon prof. Lo Monaco
dopo aver letto il compito tir� fuori un giudizio sintetico
meno lusinghiero del dovuto, in verit� non � che non
avesse apprezzato lo spirito di libert� ed indipendenza dalle
convenzioni, solo ritenne corretto insegnarmi che l'uso delle
convenzioni facilita la comunicazione. Il fatto di non usare
la stessa variabile in verit� aveva una solida base nella
necessit� pratica, perch� a quel tempo avevo appena iniziato
a programmare ed usavo un interprete basic, inutile dire che
siccome non esiste il concetto di variabile locale in basic
dovevo evitare le routine che mettessero le mani su variabili
in uso altrove, per� in un compito potevo e dovevo concedermi
questa licenza. Non ho mai imparato tanto come da quel professore
cos� morigerato nei giudizi e nell'uso delle eccezioni. La
sua precisione arrivava sempre al risultato nel modo pi� naturale.


> A questo scopo
> io personalmente preferisco utilizzare un trucchetto:
> conservo la lettera, ma specifico se il tensore deve
> agire a destra o a sinistra con una freccina sopra
> la lettera. Dove per agire a destra intendo che �
-cut-

-Se puoi, aggiorna e fai sapere dopo questa mia
-risposta, perche' mi sa che forse quest'astuzia
-non e` indispensabile..

Ribadisco. Quando consideri trasformazioni in spazi
metrici, ovvero dotati di prodotto invariante e ti
limiti alle isometrie, questa notazione, che non �
frutto di astuzia, � una buona cosa. Infatti l'uso
della medesima lettera per le reciproche discende
dalla circostanza che scambiando la varianza degli
indici si ottiene proprio la reciproca e che la
trasposizione equivale a spostare l'azione della
matrice dalla sinistra alla destra del vettore
e viceversa.

-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit_at_zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1
-- 
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Received on Fri Aug 20 2004 - 00:54:33 CEST

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