Un gruppo di matrici reali complesse pu� essere interpretato come
agente su uno spazio vettoriale complesso. Allora il gruppo � gi� una
rappresentazione che chiamo naturale o identica o di definizione.
I gruppi di lie finito dimensionali sono sempre interpretabili come
gruppi di automorfismi di uno spazio vettoriale? Questo non lo so in
generale e mi piacerebbe saperlo, tuttavia gli esempi che conosco sono
di questo tipo. Meccanica classica e quantistica sono invarianti per
trasformazioni canoniche ovvero rispetto all'azione del cosiddetto
gruppo simplettico che ha una rappresentazione naturale di dimensione
2g con g il numero dei gradi di libert�.
Quel che dicevo � che SO(3) � l'unico SO(n) la cui rappresentazione
naturale ha dimensione uguale alla dimensione della rappresentazione
aggiunta.
Mi chiedevi cosa � Spin(n) la risposta riconduce all'opera di
Cartan di geometria spinoriale. Si tratta di un sotto gruppo del gruppo
generato dalle riflessioni. Tuttavia si pu� costruire questo gruppo in
termini di numeri di Grassmann, oppure in termini di elementi della
algebra di Clifford. Vediamo in termini di elementi dell'algebra di
Clifford: poniamo le regole di anticommutazione: (e_i,e_j) =
= -2*delta_ij Poniamo poi L_ij = 1/2 e_i * e_j.
In virt� delle regole di anticommutazione risulta che L_ij
� l'algebra delle rotazioni. Tuttavia le regole di anticommutazione
permettono di calcolare esplicitamente il valore di exp(t^ij L_ij)
quello che otteniamo � un gruppo connesso ed esponenziale per costruzio-
ne. Si dimostra anche che questo gruppo � semplicemente connesso ed �
dunque il rivestimento universale di SO(n): siccome il quadrato di
L_ij vale -1/4 ottieni exp(t(l_ij))= cos(t/2)+ 2*L_ij*sen(t/2). Questo �
un doppio rivestimento di SO(n).
Poi avevo usato la parola equivalenti a proposito di rappresenta-
zioni. Quello che intendevo � isomorfe (equivalenti implica isomorfe ma
non � vero il contrario). Allora quel che mi � chiedevo � se � vero che
la rappresentazione naturale di U(1) � una rappresentazione irriducibile
del suo rivestimento universale che � unica a meno di isomorfismi.
Tutti i gruppi abeliani e continui hanno rappresentazioni irriduci-
bili unidimensionali. Ma due rappresentazioni irriducibili non sono
sempre isomorfe. Allora essenzialmente: � vero che esiste una sola
rappresentazione irriducibile non banale del gruppo R+, che non �
isomorfa alla rappresentazione naturale (unica a meno di isomorfismi
intendo)? A questa domanda ho provato ora a rispondermi.
Usando il lemma di Schur noto che in una rappresentazione
irriducibile, in virt� dell'abelianit� di R+ i sottospazi invarianti
sono di dimensione 1 e l'azione del gruppo � moltiplicare per un numero
complesso. Siccome D(a*b)=D(a)D(b) se il numero complesso che rappresen-
ta 1 � noto e vale c=exp(z) se la rappresentazione � un minimo continua
deve essere espressa da D(a)=exp(ln(a)z). Ma siccome z ha una parte
reale ed una parte immaginaria possiamo dire che ogni rappresentazione
� prodotto di due rappresentazioni di cui una � isomorfa alla rappresen-
tazione naturale di R+ e l'altra � isomorfa ad U(1). ******************
Mi piacerebbe essere in grado di risolvere l'altro problema che
proponevi e cio� trovare le rappresentazioni irriducibili reali. L'idea
sarebbe passare da quelle complesse interpretando gli elementi C come
automorfismi di R^2. Usare il solito lemma di Schur e concludere che
ogni rappresentazione irriducibile reale � prodotto di due rappresenta-
zioni, una isomorfa ad R+ l'altra isomorfa ad SO(2). Per� non sono certo
che nel passaggio per il mondo complesso non risulti tralasciata qualche
rappresentazione. Suggerimenti?*************************************
Tu davi nella tua risposta una definizione di aggiunta che non
dipende dalla conoscenza dell'algebra. In verit� questo mi ha dato da
riflettere in rapporto alla definizione che conoscevo io che dice che
la rappresentazione aggiunta di un gruppo si ottiene dall'inviluppo
dell'algebra. Il modo di procedere � questo: si pone exp(i t^mu j_mu)*
*exp(i s^mu j_mu) = exp(i y^mu j_mu) quindi si calcolano gli y^mu da
t^mu ed s^mu uguagliando i due sviluppi ordine per ordine. Tutto quel
che serve per risolvere questo problema � conoscere le costanti di
struttura del gruppo. C'era un problema che avevo considerato: questa
definizione funziona solo se il gruppo � esponenziale, e per gruppi non
compatti, ad esempio, sappiamo che questo non sempre � vero.
Esiste comunque un teorema molto generale che dice che un gruppo lie
con costanti di struttura reali totalmente antisimmetriche si pu� sempre
ridurre al prodotto di gruppi semplici e di U(1).
Come stanno le cose in verit�? Suppongo sia a questo livello che in-
tervengano dei teoremi sulla complessificazione. Infine circa la rappre-
sentazione fondamentale esiste un modo di procedere che passa per i pesi
massimi. (nulla di pugilistico) Si procede diagonalizzando l'algebra il
pi� possibile e poi construendo operatori di salita e discesa analoghi
a quelli del momento angolare quindi studiando delle regole di somma
analoghe a quelle del momento angolare. I pesi massimi allora generaliz-
zano il concetto di autovalore massimo (ovvero di J) del momento angola-
re ed i pesi fondamentali il concetto di minimo autovalore massimo non
banale, da cui le rappresentazioni fondamentali (nota il plurale).
Ti presento i ragionamenti che ho fatto finora. Io so che Spin(n/2)
pu� essere ottenuto dalla somma di rappresentazioni di spin pi� basso,
nella fattispecie sommando opportunamente n spin 1/2. Dunque stando a
questa caratterizzazione di rappresentazione fondamentale che abbiamo
presentato Spin(n) pur essendo il gruppo di rivestimento universale di
SO(n) non � la rappresentazione fondamentale. Per quanto riguarda SU(3)
abbiamo due rappresentazioni fondamentali. Possiamo esprimerci al modo
seguente: dire che i campi trasformano come la rappresentazione naturale
(o defining) di SU(3) oppure esprimere il generico campo soggetto alla
trasformazione di SU(3) come una opportuna somma di campi che
trasformano ciascuno secondo una specifica rappresentazione fondamentale
di SU(3).
C'� qualcosa che non mi � chiaro: i quark sono 6 ora, sebbene mi
sia chiaro che i tre colori possono essere visti come altrettante cari-
che associate con la simmetria di gauge SU(3), non capisco invece cosa
siano i sapori in termini di simmetrie, perch� dovrebbero essere sei e
non di pi�.
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Received on Fri Aug 20 2004 - 00:49:44 CEST