Re: Fattore di qualita' di un oscillatore

From: Giorgio Bibbiani <giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it>
Date: Fri, 20 Aug 2004 11:17:48 GMT

Buongiorno,"CiruZ" ha scritto:
> studiando gli oscillatori (ed in particolare l'osc. smorzato), mi sono
> "imbattuto" nel fattore di qualita' Q. A lezione mi e' parso di capire che
> il professore abbia definito Q come Q~(T/tau), dove T e' il periodo e tau e'
> esattamente quello dell'oscillatore (m/b, massa su coeff. di attrito), e la
> definisce come il numero di oscillazioni necessarie a ridurre la propria
> energia di un fattore e. Viceversa il Berkeley definisce Q come il tempo
> impiegato per spostarsi di un radiante, ovvero Q=2pi*E/(W/freq)=E/(W/omega),
> ovvero ~omega0*tau (dove con omega0 indichiamo k/m, ovvero anche 2*pi/T).
> In soldoni, rispetto a quello che mi e' parso di capire a lezione... mi
> manca un fattore 2*pi. Qualcuno che mi aiuti a fare chiarezza? Grazie 1000
> P.S.: effettivamente il professore pare abbia definito Q come rapporto tra
> energia al tempo t FRATTO l'energia dopo un periodo... e quindi mancherebbe
> quel 2*pi introdotto invece nel Berkeley

Dopo avere letto tutte queste formule piu' o meno incasinate rinuncio
a rispondere punto per punto :-), e preferisco riprendere da capo
l'esempio dell'oscillatore armonico smorzato unidimensionale.
Consideriamo un punto materiale di massa M che si puo' muovere lungo
l'asse x e soggetto a una forza elastica - k * x e a una forza viscosa
- b * x' (' = derivata temporale, k, b > 0), l'equazione del moto e':
M * x'' + b * x' + k * x = 0, cerchiamo per sostituzione soluzioni
del tipo exp(a*t) e otteniamo l'equazione di 2� grado in a:
a^2 + b / M * a + k / M = 0, da cui:
a = -b / 2M +- SQRT(b^2 / 4M^2 - k / M), se per ipotesi
lo smorzamento e' debole il termine sotto radice e' negativo,
posto w = SQRT(-b^2 / 4M^2 + k / M) otteniamo:
a = - b / 2M +- i * w (i = unita' immaginaria), da cui la
soluzione in forma reale, avendo posto tau = M / b:
x(t) = x_0 * exp(-t / 2tau) * cos(w * t + phi_0), ove x_0 e phi_0
sono l'ampiezza e la fase iniziali.
Sempre nell'ipotesi di smorzamento debole, l'energia totale
immagazzinata nell'oscillatore e' proporzionale al quadrato
dell'ampiezza istantanea, E ~ exp(-t / tau), se *definiamo* il Q
dell'oscillatore come 2 * Pi volte il rapporto tra energia immagazzinata
E ed energia dissipata in un periodo E' * T, otteniamo
Q = 2 * Pi * E / (E' * T) = 2 * Pi * tau / T = tau * w.
Comunque, se hai ancora dubbi, la definizione che trovi sul
Berkeley 1 e' corretta.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Aug 20 2004 - 13:17:48 CEST

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