Re: covariante e cotrovariante

From: rez <rez_at_rez.localhost>
Date: Mon, 16 Aug 2004 16:55:47 GMT

On Fri, 13 Aug 2004 10:38:05 +0000 (UTC), Gianmarco Bramanti wrote:
>"rez" <rez_at_rez.localhost> wrote:

>>Chiarito questo, dico che le matrici [*] A_i^k e B^i_k
>>sono l'una l'inversa dell'altra.
>>Ora spiego il significato.

>>- Premessa/pro-memoria/precisazione: B^i_k; B^k_i; B^j_h; ..
>>sono *indistinguibili*.

>Non sono mica muti quegli indici l�.
>Ad esempio Z^2_1 e Z^1_2 possono
>essere numeri diversi.

Non ci siamo.. busso a picche e rispondi a bastoni!

Z^2_1 e Z_1^2 sono a priori diversi come a e` a priori
diverso da b.
Io dico invece che.. guarda:
P=(x_1,x_2,x_3)=(x_i)=(x_k)=(x_l)=.. e anche qui l'indice
e` scoperto.

Diverso e` scrivere x_i = x_j, ma ancora identico e`
invece dire che: || x_i || = || x_j ||.

Queste ultime matrici-riga (o colonna se si preferisce)
sono infatti indistinguibili, o meglio son due modi per
scrivere la stessa cosa, questa: ||x_1 x_2 x_3||.

>Inoltre, ad
>esempio: l'identit� Z^i_k = Z^k_i
>significa che la matrice (Z^_)_ik = Z^i_k
>� simmetrica, ma questo non � vero per
>tutte le matrici Z^_ associate ad un tensore.

Non ci siamo.. questo che dici non ha niente a che vedere
con cio` che dicevo e che c'e` ancora quotato qui su.
Penso dovresti riguardare con calma, meglio forse se uno
se lo trascrive a mano.

Z^i_k = Z_i^k e` come dire che, date due terne numeriche:
(a,b,c) e (d,e,f), si ha: a=d; b-e; c-f.
In altre parole, la valenza scambiata di posto rende i
simboli diversi, anche se hanno Z entrambi.

>>- Perche' sia vero l'assserto, basta precisare che B^i_k
>>e` il reciproco di B_i^k nella matrice ||B_i^k||.
>>- N.B. "Il reciproco", ergo B^i_k e` indifferente
>>intenderla come la reciproca della matrice data, ovvero
>>l'inversa.
>>- OK?

>Possibile, se spieghi come definisci reciproca e come
>definisci inversa, ed infine che numero metti dentro
>il posto riga i colonna j della matrice dato un tensore
>Z^i_j. Esistono, ripeto, due modi utili di fare questo
>entrambi adeguati e coerenti:

Da qui in poi aspetto, perche' temo che c'entri il mio
errore, ma l'errata-corrige purtroppo ha ritardato
parecchio, anche se l'ho spedita subito.
Tra vedere e non vedere ti anticipo che l'inversa e` la
trasposta della reciproca.
Ma questo non e` universale? O forse ci son vecchie
novita` americane anche qui? 8-]

Anzi, riporto e rispondo solo a questo tuo I) che segue,
perche' forse lo diresti comunque.
Taglio invece il II) che non riguarda il calcolo
tensoriale ed allora mi sembra che sia ovvio e che siamo
anche d'accordo.

>I) l'elemento di riga i colonna j di Z^_ � Z^i_j
> mentre di Z_^ � Z_j^i. Detto a parole nella matrice
> metti gli elementi in modo che la corrispondenza
> fra gli indici tensoriali e gli indici matriciali
> avvenga in ordine tipografico. Il primo indice del
> tensore � di riga, il secondo indice del tensore �
> di colonna.

Ma no.. le quantita` munite di indici: Z^i_k, Z_i^k, sono
entrambe n*n quantita` numeriche ordinate, senza alcun
legame tra le prime n*n e le seconde n*n.
In altre parole si sta parlando di due simboli ben
distinti.
E questo, a livello di simboli, cioe` in ogni caso e
a prescindere dal fatto che gli indici abbiano o no
carattere tensoriale.

Se poi a posteriori si scopre che veramente non c'e`
alcun legame tra loro, allora l'aver scelto la stessa
lettera Z vuol dire che e` stato fatto unicamente per
puro masochismo.

>Nella convenzione I) le matrici associate con il
>tensore di trasformazione covariante e con il
>tensore di trasformazione controvariante sono
>una inversa della trasposta dell'altra.

Assolutamente no. Ed e` ovvio, visto quanto ho appena
finito di dire.
Per esserlo, sei obbligato a precisare esplicitamente
queste due condizioni:
1. Z_i^k = C^k_i
2. C^i_k e` il reciproco di Z^i_k nella matrice
||Z^i_k||.

Ma ripeto [e leggilo pero`, non fare solo finta!;-))]
tutto questo della trasposizione si bypassa perche' i
prodotti tra matrici li puoi fare a tua scelta righe per
colonne, o quel che vuoi per quel che vuoi, senza neppure
il bisogno di indicarlo a parole.

In altri termini, la sola cosa importante e` che gli
elementi di una siano i reciproci dei corrispondenti
dell'altra.

E ritornando a bomba e concludendo: ||A_i^k'|| e
||A^j_h'|| sono dunque l'una l'inversa dell'altra,
sotto la sola condizione che si precisi esplicitamente
che A^l_m' e` il reciproco di A_l^m' nella matrice
|| A_l^m' ||.

[ti ho preso in cura bene io.. mo' ti cambio gli indici
in continuazione tutte le volte che posso! In queste
non c'e` una sola coppia uguale, tranne l'ultima
obbligata:-))]

>A questo scopo
>io personalmente preferisco utilizzare un trucchetto:
>conservo la lettera, ma specifico se il tensore deve
>agire a destra o a sinistra con una freccina sopra
>la lettera. Dove per agire a destra intendo che �
-cut-

Se puoi, aggiorna e fai sapere dopo questa mia
risposta, perche' mi sa che forse quest'astuzia
non e` indispensabile..

-- 
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Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit_at_zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
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