Gianmarco Bramanti wrote:
> Dice Feynmann: [cut] Altrimenti la loro descrizione richiede l'opportuna
> considerazione dei gradi di liberta' strutturale.
Perfetto!
> Sia pure, pero' a me questa spiegazione fa sorgere una domanda:
> cosa e' un quanto?[cut] in un'altra risposta
> questa probabilita' ha la forma di un campo di ampiezza di
> probabilita'.
Sono cose che non ancora studio e quindi accetto l'approssimazione del
tutor.
> Non e' necessario pensare al movimento della regione di spazio,
> e' sufficiente pensare all'evoluzione nel tempo [cut] i punti per i quali
il modulo quadro di osservare
> un fotone supera una soglia minima.
Perfetto!
> No. Questa e' una confusione che ti trascini dietro gia' dal contesto
> classico. Ripeto: un conto e' la trasformata di Fourier dell'ampiezza
> di campo, un altro conto e' la trasformata di Fourier della densita'
> di energia o del flusso di energia.
Hai ragione!
2 cose, una di ordine matematico ed una di ordine fisico.
1) Su Fourier so due cose:
- se il segnale A(x,t) che trasformo � periodico (o peridocizzato), posso
fare lo sviluppo in serie ed ottenere cos� uno spettro discreto (anche
composto da una infinit� numerabile di armoniche).
Sulle ordinate del mio spettro avr� la medesima grandeza fisica A
(ampiezza) cos� cge sommandole le armoniche (sovrapposizione) posso
riottenere il segnale A(x,t). Questo spettro mi dice qual � il contributo
delle diverse frequanze all'ampiezza (quale ampiezza? quella media?) del
segnale originario. Se penso ad un segnale 2D o 3D del tipo A(x,y,z,t), ecco
che il discorso � lo stesso, ma le armoniche questa volta sono anch'esse 2D
o 3D.
- se il segnale � aperiodico, posso fare una TdF. Ottengo uno spettro
continuo e le singole armoniche hanno tutte _singolarmente_ ampiezza nulla.
Suelle ordinate mi aspetto una "densit� di ampiezza". Cio� si pu� parlare di
contributo all'ampiezza del segnale originario non gi� della singola
armonica, ma di una banda continua di ampiezza desiderata. Integrando la
densit� di ampiezza lungo una banda di spettro, ottengo la "parte" di
ampiezza con cui - al segnale originario - contribuisce la banda
considerata. Al tendere dell'ampiezza di banda a zero, tende a zero anche
l'area sottesa alla curva spettrale e quindi il valore di ampiezza
"ascrivibile" all'intervallo di freq. considerato.
Mi sembra ovvio (solo ora) da quanto appena detto cvhe ovviamente lo spettro
che opttenaimo dalla TdF di una ampiezza di campo non � lo spettro della
densit� di energia o di potenza o di intensit�. *
Premesso quanto sopra (aspetto matematico del problema - di cui chiedo
conferme/smentite), passiamo al punto 2), quallo fisico.
Il famoso tutor premetteva al suo discorso una precisazione: il suo non era
a rigore un approccio quantomeccanico, ma un approccio classico di meccanica
ondulatoria (alla Schrodinger). A quanto pare, storicamente. fu Dirac ad
operare una sintesi tra meccanica ondulatoria secondo S. e meccanica delle
matrici di Heisenberg, dando vita alla meccanica quantistica. Questa, poi,
si � molto evoiluta nel tempo, fino ai giuorni nostri.
Qual � quest'approccio?
C'� una equazione (eq. di S.) che descrive l'evoluzione spazio-temporale di
una grandezza che indichiamo con psi:
psi(x,y,z,t) o, nella semplificazione 1D:
psi(x,t).
Psi descrive una regione di spazio di dimesnioni e forma variabili nel tempo
(pacchetto d'onda) che viaggia nello spazio vuoto alla velocit� della luce
con percorso rettilineo.
Cosa � psi? E' una ampiezza di probabilit�! Non � una probabilit�, ma una
ampiezza di prob. Psi ha la prorpiet� che elevata al quadrato fornisce *non*
la probabilit� di trovare la particella, che essa "descrive", in ciascun
punto della regione di spazio occupata dal paccheto d'onda, ma la *densit�*
di probabilit� di trovare la particella il quel punto. Semplificando in una
dimensione,
la psi^2 ci dice che la probabilit� di trovare la particella nell'intervallo
x2-x1 � il risultato dell'integrale di psi^2 lungo x2-x1. Non avrebbe senso
parlare di una probabilit� finit� in ogni singolo punto della lunghezza
deltax del pacchetto d'onde 1D. Ha senso invece parlare di densit� di
probabilit� in ciascun punto del medesimo.
L. De Broglie, stabil� la seguente relazione tra lunghezza d'onda Y e
quantit� di moto p:
p = h/Y
da cui ricaviamo l'energia associata alla particella con quantit� di moto p:
E = hc/Y
Il punto � che noi non disponiamo di una Y per il nostro pacchetto d'onda,
ma infinite. Questo dipende da Fourier - a rigore - e non da qualcosa di
intrinsecamente quantistico.
Abbiamo precisamente un intervallo continuo di Y, ciascuna con una *densit�*
di probabilit� ben precisa, cio� con una probabilit� per unit� di lunghezza
d'onda (o di freq.).
Ci� vuol dire che oltre ad avere una incertezza sulla posizione delta(x),
abbiamo anche una incertezza sulla quantit� di moto e quindi sull'energia
deltaE
delta(p) = h/deltaY
deltaE = hc/deltaY.
Si dimostra che:
delta(x) * delta(p) > h (principio di indeterminazione)
Se il mio pacchetto d'onda si estende all'infinito (nello spazio e nel
tempo) fino a diventare un'armonica, ecco che avr�, trasformando, una delta
di Dirac e quindi una quantit� di moto determinato alla perfezione. Ma sar�
infinita l'indeterminazione sulla posizione. Viceversa, se restringio il
pacchetto, impongio allo spettro di allargarsi sempre di pi�, ricevendo il
contributo da armoniche di sempre maggior freq.
Se trasformo con Fourier psi, coerentemente con quanto detto sopra, dovrei
avere una "densit� di ampiezza di probabilit�". Integrando psi lungo un
intervallo di freq. deltaY, ottengo il contributo all'ampiezza del
pacchetto, della banda di freq. considerata. Ora per� sono alla ricerca di
una funzione che trasformata con Fourier mi di lo spettro della *densit�* di
probabilit�. Cio� una funzione che integrata nell'intervallo deltaY mi dia
la probabilit� che la particella abbia una Y compresa in deltaY. L'integrale
di questa funzione deve (ovviamnete!) annullarsi col tendere zero di deltaY
(probabilit� che la particella abbia un esatta Y, una Y "puntiforme") e deve
essere ugualwe ad 1 nel caso in cui volessi ntegrare lungo tutto lo spettro.
Stesa cosa valeva per psi^2 per quanto riguarda la posizione della
particella: integrando lungo tutto delta(x) la psi^2 ottengo una probabilit�
uguale ad 1!
Insomma, come hai notato, dovrei aver capito che la la funzione che cerco
*non* coincide con la TdF dell'ampiezza di campo psi. Ma allora, quale
funzione devo trasformare per avere la curva spettrale da me cercata (quella
delle densit� di probabilit� riferita alle quantit� di moto/lunghezze
d'onda/energia)?
Questo tutor ha poi aggiunto due accenni alla MQ vera e pprorpia. Mi ha
parlato di spazi vettoriali duali e di combinazioni lineari di funzioni
d'onda (considerate come vettori), a mezzo di scalari complessi. Anche se io
mi sono domandato: non basta l'eq. di S. a descrivere ad es. una particella
che attraversa lo schermo con due fenditure? Perch� combinare linearmente la
psi dell'elettrone passa attraverso la fenditurta A (la B essendo chiusa)
con la psi dell'elettrone che passa la B (la A essendo chiusa)??
Mi ha anche accennato all'interpretazione che in questo contesto ha il
principio di Indeterminazione: il collasso sul particolare autostato
corrispondednte all'autovalore misurato, ecc.
Ma erano cenni e basta...
Ad ogni modo mi ha spiegato che la misurazione � un evento traumatico per il
sistema e determina il collasso del pacchetto d'onda sui valori delle
osservabili che poi vengono effettivamente misurati. Il tutto sempre nel
rispetto dell'indeterminazione.
A questo punto vorrei spendere due parole sul discorso classico. Sto
leggendo ancora quello che mi hai altrove spiegato su TdF di ampiezza di
campo e.m. e TdF della densit� di energia.
Tuttavia mi sembra chiaro che, analogamente a quanto detto prima nell'ambito
quantistico, si possa dire che se considero un pezzo di campo e.m.
delimitato nello spazio, per ogni suo punto, avr� una ampiezza - evolventesi
col tempo - del campo elettrico (e di quello magnetico) E (x,y,z,t). La TdF
di questa funzione mi da lo psettro delle ampiezze di campo e ad esso si pu�
applicare _tutto_ quello che ho detto circa la TdF di psi (comprese le
semplificazioni 1D).
Integrando lo psettro risultante nell'intervallo deltaY, ottengo il
contributo all'ampiezza del mio campo delle armoniche (1-, 2- o 3D) comprese
in deltaY.
Ora tu hai cercato di spiegarmmi che c'� una serie di passaggi da fare su
E(x,y,z,t) per ottenere una funzione - che chiamero' J - che trasformata con
Fourier, mi dia lo spettro della densit� di energia (o di potenza o di
intensita*). Immagino che questa funzione J potrebbe darmi la densit� di
energia in ogni punto dello spazio. Cos� integrandola nello spazio potrei
avere l'energia (o la potenza o l'intensit�*) di un volumetto stabilito (nel
tempo stabilito). Come vedi sto cercando di vedere se il parallelismo con
psi e psi^2 regge....e fino a che punto. Trasformando J dovrei avere lo
spettro delle densit� di energia: integrando lo spettro su deltaY sapere,
invece, quanta energia � associata a quell'intervallo di Y.
Mi domando:
- esiste realmente J?
- come si arriva a J da E(x,y,z,t)? Questo dopvresti avermelo detto
nell'altro thread: giusto?
Ora dovrebbe andar meglio, no?
> In accordo con l'equazione di Dirac.
Avrei detto, in linea con quanto soppra. di Schrodinger.
> Quello che sappiamo e' ad una scala talmente macroscopica rispetto
> al livello atomico, che sapere prevedere cosa succede con schemi "di
> fortuna" sviluppati a questo nostro livello umano di conoscenza ha
> del miracoloso, di questo strano miracolo non finiro' mai di
> stupirmi, senza ritenere con questo di sapere cosa sia un elettrone,
> oltreche' un'invenzione della nostra fantasia avallata da dati
> sensibili misurati (per molti da altri) in laboratorio e da un
> quadro ipotetico deduttivo che usa strumenti avanzati di conoscenza
> matematica.
Bellissima riflessione....
>> ATTENZIONE! Non bisogna confondere la funzione d'onda con un pezzo
>> di campo e.m. Non bisogna neanche pensare che essa sia quell'onda
>> che vediamo subire diffrazione nel passaggio di un fotone attraverso
>> una fenditure. E' un'onda diversa.
Qui ho commesso un errore. Il tutor, in effetti, diceva prorpio il
contrario. E cio� che � prorpio il pacchetto d'onda a subire ci� che
normalmente subiscono le onde: ad esempio la diffrazione attraverso le
fenditure con successiva interferenza. Quindi bisogna immaginare il
pacchetto d'onda come capace di riflessione, rifrazione, ecc. Dal
comportamento probabilistico di questo pacchetto e dall'effetto statistico
di una moltitudine di pacchetti, deriva quanto osserviamo in ottica, ad es.
> A patto di una elaborazione ulteriore della trasformata. Attenzione,
> perche' probabilmente il tuo tutor ha chiaro questo passaggio,[cut]
> Un altro ancora la densita' di energia che puoi andare a misurare
> senza riguardo al numero di fotoni effettivamente misurati.
Questo credo sia quanto ti chiedo pi� sopra.
> Esiste una nota aberrazione cromatica [cut]comporta una
> dispersione quantistica ineliminabile, che comporta una imprecisione
> nella localizzazione del fuoco
Mi chiedevo solo se questa imprecisione ha a che fare col principio di
indeterminazione. Per me, infatti, se il fuoco fosse perfettamemente
puntiforme, avremo definito con esattezza la posizione del fotone. E se nel
fuoco ci fosse un rivelatore, sapremmo contemporaneamenmte posizione esatta
e quantit� di moto nei limiti della sensibilit� del rivelatore, cosa cmq
impossibile per il principio di indeterm. Ma forse questo discorso �
sbagliato, ma non capisco perch�!
Grazie di cuore
* per "potenza" intendo l'energia in rapportio al tempo; e per "intensit�"
la potenza in rapporto alla superficie attraversata dall'onda
Received on Fri Aug 13 2004 - 11:51:36 CEST
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